Multivektor

In der Mathematik ist ein Multivektor eine formale Summe von Ausdrücken der Form $v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ mit Vektoren $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ und $n\in \mathbb {N}$. In Physik und Elektrotechnik ist das Rechnen mit Multivektoren oft nützlich.

Mathematisch handelt es sich bei Multivektoren um Elemente der äußeren Algebra $\Lambda ^{*}V$ eines Vektorraumes $V$. Diese Algebra ist graduiert und ein $k$-Vektor ist ein Element von $\Lambda ^{k}V$, also eine Summe von Produkten aus $k$ Vektoren $v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{k}$.

Man spricht von Skalaren, Vektoren, Bivektoren und Trivektoren, wenn es sich um $k$-Vektoren mit $k=0,1,2$ und $3$ handelt.

Äußeres Produkt

→ Hauptartikel: Äußere Algebra

Das für die Konstruktion von Multivektoren verwendete äußere Produkt ist multilinear (linear in jedem Argument), assoziativ und alternierend. Das heißt, dass für Vektoren $u,v,w$ in einem Vektorraum $V$ und für Skalare $\alpha ,\beta$ gilt

• $\mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;$
• $(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );$
• $\mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.$

Wenn $e_{1},\ldots ,e_{d}$ eine Basis von $V$ bilden, dann bilden die $\left({\begin{array}{c}d\\k\end{array}}\right)$ äußeren Produkte von je $k$ Basisvektoren eine Basis von $\Lambda ^{k}V$.

Beispiele

Multivektoren im R²

Sei $e_{1},e_{2}$ eine Basis von $\mathbb {R} ^{2}$, dann kann man Vektoren im $\mathbb {R} ^{2}$ zerlegen als

$\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},$

und der Bivektor $u\wedge v$ berechnet sich als

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).$

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also der Flächeninhalt des von den Vektoren $u$ und $v$ aufgespannten Parallelogramms.

Der Bivektor $e_{1}\wedge e_{2}$ ist eine Basis von $\Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{2}$.

Multivektoren im R³

Sei $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ eine Basis von $\mathbb {R} ^{3}$, dann kann man Vektoren im $\mathbb {R} ^{3}$ zerlegen als

$\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},$

und der Bivektor $\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}$ berechnet sich als

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}v_{1}&u_{1}\\v_{3}&u_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).$

Mithilfe des Vektorraumisomorphismus $\varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ definiert durch

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}\mapsto \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\\\mathbf {e} _{2}\mapsto \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{3}\mapsto \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\\end{aligned}}$

sieht man, dass die Komponenten des Bivektors $\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}$ übereinstimmen mit denen des Kreuzprodukts $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$, d. h. es gilt $\varphi (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}$.

Der Trivektor $\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$ ist eine Basis von $\Lambda ^{3}\mathbb {R} ^{3}$. Man berechnet

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}).$

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also das Volumen des von den Vektoren $u,v$ und $w$ aufgespannten Parallelepipeds.

Multivektoren und Multivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

In der Differentialgeometrie bezeichnet man als $k$-Vektor ein Element aus $\Lambda ^{k}T_{x}M$, wobei $T_{x}M$ der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $x\in M$ ist.

Ein Multivektorfeld ist ein Schnitt des $\Lambda ^{k}TM$ des Tangentialbündels $TM$.