Con quale forma esce l'acqua dal rubinetto e perché è più interessante di quello che pensate

Quando apriamo il rubinetto per svolgere le nostre attività quotidiane raramente prestiamo attenzione al getto d'acqua che ne fuoriesce. In questo articolo, però, mi piacerebbe invitarvi a soffermarvi sulla bellezza di un fenomeno solo all'apparenza banale grazie ai mezzi che ci mette a disposizione la meccanica dei fluidi.

Lo studio dell'efflusso di un liquido da un orifizio è un qualcosa che interessa la scienza da diversi secoli. Uno dei primi pensatori in assoluto a fornire un contributo all'allora nascente branca della foronomia fu lo scienziato italiano Evangelista Torricelli, il quale nel XVII secolo intuì che la velocità con cui l'acqua fuoriesce da un foro posto sul lato di un serbatoio dipende dalla radice quadrata dell'altezza dell'acqua che sta sopra l'orifizio, tutto ciò in perfetta analogia con la caduta libera dei corpi già oggetto di studio qualche decennio prima da parte di Galileo Galilei. Uno dei casi più interessanti della foronomia - a mio avviso perlomeno - è quello di un getto d'acqua verticale che fuoriesce da un foro parallelo rispetto al terreno. Se ci pensate, questo tipo di situazione è piuttosto facile da incontrare nella vita di tutti i giorni, perché è esattamente ciò che succede quando apriamo il rubinetto a casa o in qualsiasi altro posto. Sfruttando quel getto d'acqua dall'aspetto cristallino e dalla forma particolare, sulla falsa riga dell'articolo sulla catenaria, vorrei provare a dimostrarvi ancora una volta il fascino e la potenza della matematica in una delle sue applicazioni più concrete: la meccanica dei fluidi. Perché come diceva l'eclettico Leonardo da Vinci diversi secoli fa: "la meccanica è il paradiso della matematica perché qui se ne possono cogliere i frutti".

Getti d'acqua e matematica

Non c'è cosa più convincente che osservare un fenomeno fisico avvenire sotto i propri occhi, per questo quando posso cerco di proporvi dei piccoli esperimenti per convincervi dell'irragionevole efficacia della matematica. In questo caso, l'esperimento che vi vorrei proporre è piuttosto semplice e consiste nello scattare una foto dell'efflusso d'acqua da un foro verticale per confrontarlo con il flusso calcolato attraverso le relazioni che le grandi menti della meccanica dei fluidi ci hanno messo a disposizione. Prima di passare alla parte pratica, però, vorrei soffermarmi con voi a ragionare su cosa ci dovremmo aspettare dall'esperimento. Infatti, è sempre buona norma avere un'idea di quello che potrebbe succedere durante un esperimento e per farlo ricorreremo ad una vecchia conoscenza dei lettori di questa newsletter: l'equazione di Bernoulli. Questa celebre equazione è una di quelle che torna utile in tantissimi casi diversi, tra l'altro è anche piuttosto semplice da applicare, tant'è vero che la si propone già agli studenti delle scuole superiori. Sostanzialmente l'equazione di Bernoulli si basa sul fatto che l'energia di un flusso deve mantenersi costante lungo il suo tragitto e se applicata al nostro getto d'acqua che esce da un foro ci permette di farci un'idea sulla sua forma - se non addirittura di prevederla, come vedremo.

Non mi vorrei perdere troppo in dettagli matematici che potrebbero risultare noiosi ai meno nerd di noi, ma vale perlomeno la pena di capire qualitativamente cosa succede al getto d'acqua che esce dal foro. Non appena il getto esce dal tubo della doccia, questo possiede una certa velocità iniziale che dipende sostanzialmente da quanto aperta è la valvola della doccia. Essendo il getto a contatto diretto con l'aria della stanza, sappiamo che la pressione sarà uguale a quella atmosferica - che è zero in termini di pressione relativa. Cadendo, il getto acquista velocità sotto l'azione dell'accelerazione gravitazionale e perciò la sua velocità aumenta. Se la velocità aumenta, per mantenere la continuità del getto l'area dello stesso deve diminuire. Perciò, in definitiva ci aspettiamo un getto cilindrico con un'area che si riduce mano mano che si scende verso terra. Ad un certo punto, l'area del getto sarà così piccola da farlo diventare instabile e romperlo in tante goccioline - tra l'altro ho scoperto che questo fenomeno è noto come instabilità di Plateau-Rayleigh e ha applicazioni industriali piuttosto rilevanti.

Per i più nerd di voi, invece, vorrei presentare brevemente le equazioni che useremo per stimare la forma del getto d'acqua, giusto per essere completi nel caso interessasse a qualcuno - in caso contrario siete liberi di passare al prossimo paragrafo, ma vi avverto che ci sono alcune osservazioni interessanti anche qui. Utilizzando l'equazione di Bernoulli in combinazione con l'equazione di continuità come nell'immagine sopra, quello che otteniamo è la seguente relazione.

Vi dico subito che questa relazione è piuttosto facile da ottenere e da risolvere, ma non è quella che fornisce risultati migliori in tutte le condizioni. Per ottenere una relazione più accurata e generica, all'equazione di Bernoulli va aggiunto un termine di pressione legato alla tensione superficiale del fluido. Così facendo si ottiene quest'altra relazione, piuttosto criptica ad una prima occhiata.

Quest'ultima relazione è decisamente più complicata e deve essere risolta per via numerica - cioè al computer. La particolarità di questa equazione è che compaiono due numeri adimensionali: il numero di Froude (Fr) che fornisce il rapporto fra gli effetti di inerzia e quelli di gravità, e il numero di Weber (We) che mette in relazione gli effetti di inerzia con quelli della tensione superficiale. Di questi numeri adimensionali in meccanica dei fluidi ne trovate tantissimi, ogni volta ne scopro uno nuovo che non conoscevo. La cosa interessante da notare è che se il numero di Weber è molto più grande di 1 sostanzialmente le due relazioni sono equivalenti, perché di fatto è come dire che l'effetto della tensione superficiale è trascurabile rispetto agli effetti di inerzia. Come vedremo, però, non è questo il nostro caso.

Vedere per credere

Come detto, non c'è nulla di più convincente di un buon esperimento per verificare l'efficacia di un modello matematico. Per eseguire questo esperimento la prima cosa da fare è trovare un orifizio sufficientemente orizzontale da cui far uscire un getto d'acqua. Un rubinetto può essere una buona scelta, ma l'importante è che l'ugello sia orizzontale perché altrimenti il getto non sarà simmetrico e avrà quindi un profilo diverso in base al lato da cui lo si guarda. Una volta trovato il nostro orifizio, basterà semplicemente aprire leggermente l'acqua fino ad ottenere un flusso laminare - il mio aveva un numero di Reynolds di circa mille, un giorno vi parlerò anche di questo numero, probabilmente il più importante in fluidodinamica -, ciò significa semplicemente che il flusso dovrebbe essere il più stabile e limpido possibile in modo da poterne identificare in modo chiaro il profilo ad occhio nudo. Una volta ottenuto il nostro getto d'acqua limpido e stabile, basterà scattargli una foto avendo cura di essere il più paralleli possibili evitando così errori di misura dovuti alla prospettiva. Ultimo gesto necessario è quello di misurare la portata del getto, cioè il volume di acqua che esce dal tubo nell'unità di tempo - tipicamente si misura in metri cubi al secondo. Per farlo io ho usato un semplice contenitore graduato di quelli per cucinare, l'ho messo sotto al getto e ho cronometrato con il cellulare il tempo necessario a riempire il contenitore. Basta poi dividere il volume del contenitore per il tempo necessario a riempirlo e ottenere così la portata del getto. Una volta eseguiti tutti questi passi, ho preso l'immagine del getto e con l'aiuto di un software di grafica ne ho misurato il profilo. L'unico accorgimento particolare da avere è quello di scalare l'immagine rispetto ad una dimensione che si conosce - io per esempio ho utilizzato il diametro del foro. Bene, siamo pronti per passare ai risultati quindi che per l'occasione ho sintetizzato in un bel grafico qui sotto.

Penso che la prima cosa che possiamo dire di questi risultati è che ancora una volta la matematica non ci ha deluso, l'accuratezza con cui il modello aderisce al profilo d'acqua misurato è qualcosa di disarmante. Seconda cosa che vediamo è come i due profili calcolati differiscano inizialmente in prossimità della curvatura per poi diventare praticamente identici. Ciò accade perché in presenza di una curvatura la tensione superficiale agisce contro questa nel tentativo di ridurla, nel farlo la tensione superficiale deve "lottare" contro l'effetto della gravità che tende ad accelerare il getto e a ridurne rapidamente il diametro. Come abbiamo detto se il numero di Weber è sufficientemente vicino a 1, allora l'effetto della tensione superficiale si fa rilevante e nel nostro caso We = 0.5, motivo per cui per modellare accuratamente il profilo in presenza della curvatura bisogna ricorrere alla formulazione modificata dell'equazione di Bernoulli. Se però avessi aperto ulteriormente l'acqua della doccia, il getto sarebbe uscito più rapidamente e quindi con una curvatura minore; di conseguenza sarebbe bastato utilizzare l'equazione di Bernoulli per predire accuratamente la forma del getto. Spero di essere riuscito a convincervi anche questa volta che la matematica, dopotutto, non è poi così astratta come si pensa, ma anzi, le sue applicazioni sono estremamente concrete ed efficaci.

Riferimenti

• Un resoconto storico sullo sviluppo dell'idraulica
• Evangelista Torricelli
• Una bella introduzione concisa del MIT sulla fisica di un getto sottoposto all'azione di gravità
• La foronomia
• L'equazione di Bernoulli spiegata bene
• L'equazione di continuità spiegata bene
• L'instabilità di Plateau-Rayleigh

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Foto di copertina: Karolina Grabowska da Pixabay