Имагинарен број

$\ldots$ (ја повторува шемата од синото поле)

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$\ldots$ (ја повторува шемата од синото поле)

Илустрација на комплексната рамнина. Имагинарните броеви се на вертикалната координатна оска.

Имагинарен број — број во облик „bi“ каде „b“ е реален број, а „i“ е квадратен корен од минус еден, познат како имагинарна единица. Имагинарните броеви и реалните броеви можат заедно да сочинат комплексни броеви во обликот „a + bi“ каде „a“ е реалниот дел, а „bi“ е имагинарниот дел. Затоа имагинарните броеви можат да се сметаат за комплексни броеви каде што реалниот дел е нула. Имагинарниот број на квадрат дава негативен реален број.

Имагинарните броеви прв ги дефинирал Рафаел Бомбели во 1572. Во тоа време некои ги сметале ваквите броеви за измислени и бескорисни, како што се нулата и негативните броеви. Многу други математичари ги прифатиле овие проеви доста бавно, меѓу кои и Рене Декарт кој негативно се изразил за нив во неговото дело „Геометрија“.

Геометриско толкување

Геометриски земено, имагинарните броеви лежат на вертикалната оска на рамнината на комплексни броеви, овозможувајќи да се претстават ортогонална на реалната оска. Еден начин на сфаќање на имагинарните броеви е да се земе стандардна бројна оска, позитивно зголемувајќи ја величината на десно, и негативно зголемувајќи ја величината на лево. На 0 на оваа оска „x“, оската „y“ може да се ицџрта во „позитивна“ насока нагоре; „позитивните“ имагинарни броеви потоа се „зголемуваат“ во величина нагоре, а „негативните“ имагинарниброеви се „намалуваат“ во величина надолу. Вертикалната оска се нарекува „имагинарна оска“ и се обележува со $i\mathbb {R}$, $\mathbb {I}$, или само Im.

На овој приказ, множењето со −1 соодветствува на ротација од 180 степени околу почетокот. Множењетосо i соодветствува на ротација од 90 степени во „позитивна“ насока (т.е. на лево), а равенката $i^{2}=-1$ се толкува како постапка на 2 90-степени ротации околу почетокот, при што нето резултатот е една 180-степена ротација. Треба да се напомене дека и 90-степена ротација во „негативна“ насока (т.е. на десно) исто така го задоволува ова толкување. Ова е одраз на фактот што −i исто така ја решава и равенката $x^{2}=-1$ — видете имагинарна единица.

Примена на имагинарните броеви

За највеќето човечки задачи, реалните броеви (па дури и рационалните броеви) нудат соодветен опис на податоците. Дропките како ⅔ и ⅛ се бесмислени ако некој брои камења, но од суштинско значење ако некој ги споредува големините на разни збирки од камења. Негативните броеви како −3 и −5 бесмислени при мерење на масата на некој предмет, но од суштинско значење за следење на салдото на тековни сметки. Така и имагинарните броеви имаат суштински и конкретни примени во најразлични науки и сродни полиња како обработка на сигнали, теоријата на раководењето, електромагнетизмот, квантната механика, картографијата, анализата на вибрации и многу други.

Во електроинженерството, на пример, волтажата која ја дава акумулаторот/батеријата се одликува со еден реален број (наречен „опсег“ или „амплитуда“), како +12 волти или −12 волти. Но "наизменичната" (AC) волтажа во домот бара два параметра. Еден е опсегот, како 120 волти, а другиот е аголот (наречен „фаза“). Се вели дека волтажата има две димензии. 2-димензионалната величина математички може да се претстави или како вектор или како комплексен број (во инженерството наречен фазор). Во векторскиот приказ, правоаголните координати обично се нарекуваат просто X и Y. Но при прикажувањето на комплексни броеви, истите се нарекуваат реални и имагинарни. Кога комплексниот број е чисто имагинарен, како реален дел од 0 и имагинарен дел од 120, ова значи дека волтажата има опсег од 120 волти и фаза од 90°, што е физички мошне реално.

Некои програмски јазици имаат вградена поддршка за имагинарни броеви. На пример, толкувачот Питон (Python), тие секористат со придодавање на големи и мали букви J кон бројот:

>>> (5+2j) * (8+5j)
(30+41j)

Примери од Octave и Matlab:

   >> (5+2j) * (8+5j)
   ans =
     30.0000 +41.0000i
   >> (5+i*2) * (8+5j)
   ans =
     30.0000 +41.0000i
   >>

Историја

Рене Декарт бил првиот кој го употребил поимот „имагинарен“ (т.е. ‘замислен’) број во 1637 г. Но самите имагинарни броеви многу поодамна ги измислил Џероламо Кардано во 1500-тите, но тие не биле нашироко прифатени пред за нив да се заложат Леонард Ојлер (1707–1783) and Карл Фридрих Гаус (1777–1855).

Во 1843 математичкиот физичар Вилијам Роан Хамилтон, ја проширил идејата за оска на имагинарни броеви на рамнина во тридимензионален простор на кватернионски имагинари.

Со развитокот на количниците на полиномните прстени, концептот зад имагинарниот број станал посодржаен, но среќаваме и други имагинарни броеви како j на тесарини кој дигнат на квадрат изнесува +1. Оваа идеја се појавила во написите на Џејмс Кокл започнувајќи од 1848 година.

Степенување на $i$

Степенувањето на $i$ се повторува во круг:

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$\ldots$

Ова може да се изрази со следнава шема каде n е било кој цел број:

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

Ова води до заклучокот дека$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$.

Поврзано

• Кватернион
• Октонион
• Имагинарна единица

Наводи

• Paul Nahin, An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of -1 (Princeton University Press, 1998)

Надворешни врски

• Зошто имагинарните броеви навистина постојат (англиски)