Kwadratury Gaussa

Kwadratury Gaussa – metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$ i węzłów interpolacji $t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in [a,b]$ aby wyrażenie

\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i})

najlepiej przybliżało całkę

I(f)=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)dx,

gdzie $f$ jest dowolną funkcją określoną na odcinku $[a,b],$ a $w$ jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki

$w(x)\geqslant 0,$
$\forall _{k\in \mathbb {N} }\int \limits _{a}^{b}x^{k}w(x)dx$ jest skończona,
Jeżeli $p$ jest wielomianem takim, że $\forall _{x\in [a,b]}\;p(x)\geqslant 0,$ to jeśli $\int \limits _{a}^{b}w(x)p(x)dx=0,$ mamy wtedy $p\equiv 0.$

Określmy iloczyn skalarny z wagą

\langle f,g\rangle _{w}=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)g(x)dx.

Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego, jeśli $\langle f,g\rangle _{w}=0.$

Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:

a) Jeżeli $t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in [a,b]$ są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego $p_{n}(x)$ oraz $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$ są rozwiązaniami układu równań:

\left\{{\begin{matrix}p_{0}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{0}(t_{n})w_{n}=&\langle p_{0},p_{0}\rangle _{w}\\p_{1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{1}(t_{n})w_{n}=&0\\\vdots &&\vdots &\vdots \\p_{n-1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{n-1}(t_{n})w_{n}=&0\end{matrix}}\right.,

to dla każdego wielomianu $p$ stopnia nie większego niż $2n-1$ zachodzi

\int \limits _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}p(t_{i}).\qquad (*)

Ponadto $w_{i}>0.$

b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ oraz ciągu wag $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ dla dowolnego wielomianu $p$ stopnia nie większego niż $2n-1$ zachodzi warunek (*), to $x_{i}=t_{i}$ oraz $v_{i}=w_{i}$ z dokładnością do kolejności.

c) Dla dowolnego ciągu węzłów $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ oraz ciągu wag $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).

Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa

Kwadratury z przedziału $[-1,1]$ z wagą $w\equiv 1$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre’a

I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),

gdzie $t_{i}$ to pierwiastki i-tego wielomianu Legendre’a.

Kwadratury z wagą $w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa

I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),

gdzie $t_{i}$ to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.

Kwadratury z wagą $w(x)=e^{-x^{2}}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite’a

I(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),

gdzie $t_{i}$ to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite’a.

Kwadratury z wagą $w(x)=e^{-x}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre’a

I(f)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),

gdzie $t_{i}$ to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre’a.

Kwadratury z wagą $w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego

I(f)=\int \limits _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}).

Zobacz też

Bibliografia

Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982.
D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982.
J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980.
A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.