Отец Даниила — Вячеслав Квят (род. 1958) — бизнесмен, экс-депутат Курултая Республики Башкортостан, бывший руководитель республиканского филиала Российской партии жизни; мать — Зульфия (род. 1972).

До 6 лет Квят жил в Уфе, затем вместе с семьёй переехал в Москву. В 12 лет, ради карьеры Даниила, семья переехала в Рим. Квят хорошо знает английский, итальянский, испанский языки, немного говорит на финском