2025年度採用の岐阜県教員採用選考1次試験 ～中学校の教科専門理科
2024年11月1日（金）中学校種の教員採用選考試験の問題と県教委からの解答を記載する。問題数は50分30問であるから、時間的には結構厳しい。出題内容は、物理基礎・化学基礎・生物基礎・地学基礎といった基礎科目の範囲であろう。私自身が高等学校理科に精通しているわけでない（中学校理科についても、同様である）ので、確信を持って言えるわけでない。中学校理科教員は、大変な面がある．教科については理科が物理学・化学・生物学・地学と自然科学の広範囲の内容を含んでいるからである。さらに、実験があって高等学校のように実験助手が配属されているわけでない。自分で実験の準備をしなければならない。また、ときどき中学校理科実験での生徒の事故が話題になる。多くは有毒な硫化水素（H₂S)関連の事故であるが・・・。教科専門理科理科解答リン...2025年度採用の岐阜県教員採用選考1次試験～中学校の教科専門理科
2025年度採用の岐阜県教員採用選考1次試験 ～中学校・高等学校種の教科専門数学
2024年10月30日（水）今年も岐阜県教員採用試験の問題をこのブログで掲載する。岐阜県教育委員会の場合、1次試験は昨年度だったかよく記憶にないが、後日ホームページに記載される。しかし、掲載時期が遅いこともあって、ここで掲載することにした。解答は県教委発表のものである。解説は、一切付けないことにした。ただし、興味のある問題は例えば3辺の長さが与えられた三角形の外接円と内接円の半径～2025年度採用の岐阜県教員採用選考試験の1次試験より（2024年10月26日）のように、とりあげるようなことをしたい。1次試験このブログでの公開は、中学校種教科専門理科高等学校種教科専門情報教職教養を考えている。なお、県教委のホームページ上で公開されない2次試験については、中学校種論文試験中学校種数学模擬授業中学校種理科模擬授...2025年度採用の岐阜県教員採用選考1次試験～中学校・高等学校種の教科専門数学
2024年10月28日（月）古典的な微分幾何学の定石どおり、トーラスについて整理している。前回のトーラスについて1～その媒介変数表示と第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率（2024年10月24日）について、今回はトーラスの体積・表面積を扱う。トーラスの表面積Sを求めることが中心であるが、その方法は第Ⅰ基本量E,F,Gを用いる。S＝∫∫_D√（EG－F²）なお、体積Vについてはその求め方には触れていなくて、結果だけ述べている。ちょっと休息（1）10月26日（土）のFacebook投稿より学びの記録と「おもしろ物理」サークル昨日25日は、サークールがある日なので岐阜学習センターに出かけました。8時30分過ぎにOKBふれあい会館の駐車場に着きました。9時から視聴覚スペースに入室しました。『教育社会学概論...トーラスについて2～その体積・表面積
3辺の長さが与えられた三角形の外接円と内接円の半径 ～2025年度採用の岐阜県教員採用選考試験の1次試験より
2024年10月26日（土）2025年度採用の岐阜県教員採用選考試験の1次試験は、教科専門50分の試験時間で実施された。全問35問の解答で、中学校種・高等学校種の問題は、共通が32問で、残り3問は中学校種が学習指導要領関連の問題、高等学校種は新課程で数学Ⅲの内容からの出題となっている。この問題は、2校種共通の最初の問題で1分30秒以内で解答するという、時間に追われる試験となる。3辺の長さが与えられた三角形の外接円と内接円の半径を求めることになるが、内接円の半径を求めることは比較的容易である。しかし、内接円の半径を求めることには余りとりあげることがなく、難しい問題となる。数学Aの内容であるが、この機会にまとめておくのもよいと思ってとりあげてみた。なお、三角形の面積S、周囲の長さをl、半径をrとするとS＝(1...3辺の長さが与えられた三角形の外接円と内接円の半径～2025年度採用の岐阜県教員採用選考試験の1次試験より
トーラスについて1 ～その媒介変数表示と第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率
2024年10月24日（木）トーラスS¹×S¹について、総合的に考えて見るのが、本ブログの趣旨である。併せて、古典的な微分幾何学の曲面論の展開の仕方を確認したいという気持ちもある。次の2つに分けて考える。トーラスについて1～そのと第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率（2024年10月24日）本ブログトーラスについて2～その体積と表面積（2024年10月26日）その1では、トーラスのまず媒介変数表示をしてから、第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率につて考える。これらの概念は、トーラスに限らずに曲面論の基礎的な概念である。周知の通り、古典的な微分幾何学は曲線論では大きな成功を収めたが、曲面論では十分な成果が得られなかった。微分可能な多様体論や現代微分幾何学を待たねばならなかった。とりあえず、古...トーラスについて1～その媒介変数表示と第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率
2次方程式と不定積分いろいろ ～2024年度前期日程の室蘭工業大学理工学部入試より
2024年10月22日（火）融合問題と言うべきか、2次方程式に関する問題と数学Ⅲの不定積分を組み合わせた室蘭工業大学理工学部の入試問題である。この問題のポイントは、本文でも簡単に述べたのでここでは省略する。2次方程式に関して、解と係数の関係は使われていない。x²＋2ax＋b＝0の解は、解の公式を用いて素直にx＝－a±√(a²－b)と求める。この解が、x＝－α，－βとなるわけである。このことさえ理解できれば、この問題を解くことはやさしい。ちょっと休息（1）10月21日のFacebook投稿より今日の午前中に、海津市医師会病院でインフルエンザの予防接種をしてきました．1700円でした。毎年、予防接種をしています。2次方程式と不定積分いろいろ～2024年度前期日程の室蘭工業大学理工学部入試より
2024年10月20日（日）剰余類は集合をある条件によって類別したものであるが、それに関係深い合同式について触れておこう。合同式は整数の集合を、ある整数の剰余によって類別した式を表す。例えば整数Nを3で割ったときの余りによる類別は、N≡p(mod3)p=0,1,2と表す。例えば、3で割って2余る整数Nを合同式では簡単にN≡2(mod3)と表す。合同式を使わない場合はN＝3k+2（kは整数）のように表さなければならない。整数に関する定理では、大幅な簡略化ができる。さて、現在高校数学では合同式を扱う高校とそうでない高校がある。数学Aの教科書に掲載されている場合と掲載されていない教科書がある。下に挙げた教科書の引用は数研出版『数学A』（令和4年1月20日）単元「第3章数学と人間の活動」の中の1ページである。数研...剰余類に関する基本定理
p進法の表記法に関する問題 ～2024年前期日程の岩手大学理工学部の入試より
2024年10月18日（金）前回の正6角形に関するベクトルの基礎的な問題～2024年度前期日程の岩手大学理工学部の入試（2024年10月10日）に続いて、岩手大学理工学部の入試問題をとりあげる。岩手大学理工学部の問題は、本ブログで取りあげたこの問題以外は、教科書の例題レベルの基礎・基本問題を出題している点に特徴がある。それだけに、この問題の出来・不出来が合否に影響を与えたのでないかと推測される。それでも、小問（1）（2）（3）は基本問題であるから、出来なければならない。やや難しく感じるのは、小問（4）（5）である。ちょっと休息（1）10月16日（水）のFacebook投稿よりこの9月から10月にかけて、中古文学の島内裕子校訂・訳『枕草子上』・『枕草子下』（ちくま学芸文庫）宮崎莊平校訂・訳『紫式部日記』（講...p進法の表記法に関する問題～2024年前期日程の岩手大学理工学部の入試より
10月12日（土）・13日（日）・14日（月）3日間の過ごし方
2014年10月16日（水）もう10月の半ばというのに、日中は気温が26度から28度の日が続く。朝夕は、寒い位に気温が低下し、寒暖差が大きい。10月12日（土）・13日（日）・14日（月）のうち、前2日間は村祭りの準備および本番であった。10月12日（土）・13日（日）私は組の長を務めているので、12日の8時に地区の八幡神社に出かけた。そこで、神輿関係の準備をした。神輿は、既製のものである。神輿が担げるように準備するのが、大きな仕事である。こちらは、10時頃に終わった。16時から神輿のお祓いが予定されていた。しかし、神主がけがのために出られずに、中止になった。神主が来られないということで、区長（自治会長のこと）等が多度神社までお願いに行ったが、空いてなかった。急なことなので、仕方がない。明日の本祭りの祈祷...10月12日（土）・13日（日）・14日（月）3日間の過ごし方
2024年10月14日（火）前回のブログ；微分可能な多様体の様々な話題1（2024年10月16日）に続いて、今回も微分可能な多様体（本文では、可微分多様体）周辺の話題を取りあげる。今回は、代数学の基本定理の証明と微分同相写像の定義である。代数学の基本定理の証明は、複素解析学による方法が有名である。微分同相写像の定義は、本文を読んでいただければ理解できると思う。MとNをC^r級の微分可能な多様体とする。f：M→Nが微分同相写像であれば、MとNは微分同相である。（追伸）本文1枚目の代数学の基本定理の証明の中の図は、“TopologyfromtheDifferentiableViewpoint”byJ.W.Milnorからの引用である。私はかなり前にノートをとりながら原書で読んだことがある。当時は多様体論を学習...微分可能な多様体の様々な話題2
2024年10月12日（土）多様体論の話題をいくつかあげてみた。これまで、以下のブログで微分可能な多様体について述べてきた。実特殊線形群～可微分多様体の1つの例として（2023年11月17日）微分可能な多様体の接ベクトル空間1（2024年7月24日）微分可能な多様体の接ベクトル空間2（2024年7月28日）微分可能な多様体の定義（2024年8月21日）今回は、定義から微分可能な多様体であることを判断するのでなく、位相多様体Mから位相多様体Nへの写像f：M→Nの性質から判定する方法を紹介する。具体的には、（m－1）次元単位球面が（m－1）次元可微分多様体（微分可能な多様体）であることを示す。ちょっと休息（1）10月11日（金）のFacebook投稿より・・・ユリの球根の植え付け今日の午前中に、ユリ4種類を植...微分可能な多様体の様々な話題1
正6角形に関するベクトルの基礎的な問題 ～2024年度前期日程の岩手大学理工学部の入試
2024年10月10日（木）正6角形を用いた平面ベクトルの基礎的な問題である。強化の例題レベルの問題で、平面ベクトルの知識の確認に最適な問題だと思う。一度、解いていただきたい。ちょっと休息（1）10月8日（火）のFacebook投稿より学びの記録今日は、1週間ぶりに岐阜学習センターに出かけました。7時35分頃に家を出て、途中コンビニで昼食の弁当を購入してから、8時40分ぐらいにOKBふれあい会館の駐車場に到着できました。岐阜学習センターの学生控え室で学友と歓談した後、9時10分頃に視聴覚スペース室に入室しました。まず、はじめに『枕草紙の世界’24』の通信課題の提出分の問題を解きました。1問1問、問題の記載されている印刷教材のページ数を確認し記録しながら、丁寧に解きました。途中、10時20分頃に15分ほど休...正6角形に関するベクトルの基礎的な問題～2024年度前期日程の岩手大学理工学部の入試
2024年10月8日（水）前回の留数解析1～実数値関数の広義積分（2024年1月6日）のつづきとして、留数解析として実数値関数の広義積分を求めてみよう。今回とりあげた実数値関数の積分のひとつは、∫_[0,∞)1/(1+x^n)dxを計算することである。これは、より一般的な実数値関数の積分∫_[0,∞)x^(q-1)/(1+x^p)dx＝（p/π）/{sin(π/q)/p}から、直ちに導かれる。留数解析の醍醐味を味わってほしい。留数解析2～実数値関数の広義積分
2024年10月6日（日）複素解析学で登場する留数の定義と留数定理について、次のブログ留数定理1～複素解析学の話題より（2024年9月28日）留数定理2～複素解析学の話題より（2024年10月8日）でとりあげてきた。その続きとして、留数解析について2回にわたって触れたい。具体的には、適当な積分路をとり、留数定理を用いて複素積分を計算する。その過程で、実数関数の定積分（広義積分）を求めるのである。実数関数の定積分は、実数の関数の積分では容易に求めることができないが、留数解析によって求めることができる場合がある。今回は、∫_[0,∞](sinx)/xdx=π/2を示す。留数解析1～実数値関数の広義積分
多項式関数の微分の問題 ～2024年度前期日程の佐賀大学農学部の入試
2024年10月4日（金）久しぶりに数学Ⅱの微分を扱う。数学Ⅲで扱う関数はsinxやe^xやlogxなどの超越関数の微分積分であるが、数学Ⅱでは多項式関数の微積分しか扱わない。dy(x^n)/dx=nx^(n-1)∫(x^n)dx=1/(n+1)・x^(n＋1)が、基本公式となる。小問（1）は、与えられた関数の増減表を作り、極小値・極大値を求めれば解ける。小問（2）は、単なるcos3θの展開に過ぎない。加法定理を繰り返すことで、求めることができる。小問（3）は、3次方程式の1つの解から因数定理によって1次式×2次式に因数分解して3つの解を求める問題である。全般的に、基礎的な問題値っていいであろう。なお、3次関数のグラフおよび因数分解のために3次式を1次式で割る計算は、旺文社刊『2025年受験用全国大学入試...多項式関数の微分の問題～2024年度前期日程の佐賀大学農学部の入試
2024年10月2日（水）前回のブログ；留数定理1～複素解析学の話題より（2024年9月28日）で留数定理を述べて、そもそも留数とは何かと言うことで定義を述べた。今回は、まずzが無限大のときの留数の定義を述べた。その後、実際様々な関数で留数を求めてみることにした。具体的には、真性特異点を持つ関数と2位の極を持つ関数をとりあげた。さらに、留数定理を用いて複素積分の値を計算することにも触れた。複素積分とは、線積分のことである。留数定理を応用して実数関数の積分を求める等の留数解析につては別の機会に述べたい。ちょっと休息（1）10月1日（火）のFacebook投稿より学びの記録今日は1週間に1回以上岐阜学習センターで自習する日でした。7時30分過ぎに自宅を出て、OKBふれあい会館2階の岐阜学習センターに8時35分...留数定理2～複素解析学の話題より
自然数に関する問題 ～2024年度前期日程の長岡科学技術大学工学部入試より
2024年9月30日（月）長岡科学技術大学は、高等専門学校からの進学を想定して創設された大学である。豊橋科学技術大学も同様な大学である。今回は、長岡科学技術大学工学部の数が宇野入試問題の1問をとりあげる。この問題は、旺文社刊『2025年受験用全国大学入試問題正解数学追加掲載編』の良問リストにとりあげられるような問題である。私も良問だと思う。ただ、与えられた多項式を因数分解し、統合で結びつけられた自然数を素因数分解し、その等式から問題の（解法）を探ることになる。このところが、受験生には難しかって様な気がする。ちょっと休息（1）9月28日（土）のFacebook投稿今日は7時頃からサツマイモ掘りをしました。畑が粘土質なので、芋掘りは大変です。4列（50本）植えたうちの1列しか掘れませんでした。明日以降も芋掘り...自然数に関する問題～2024年度前期日程の長岡科学技術大学工学部入試より
2024年9月28日（土）留数とは、複素関数f(z)をローラン展開f(z)＝Σ_(－∞,∞）(c_n)(x-a)^n（0＜ z-a ＜ζ）をしたときの(x-a)^(－1)の係数(c_－1)をいう。しかし、留数を求めるには、真性特異点を持つ複素関数f(z)は、定義によって求めるしか方法がない。しかし、ローラン展開の主要部Σ_(1,∞）(c^-n)(x^-n)が有限項な場合、すなわちc_－k≠0かつc_－n≠0（n＞kのとき）のとき、これをk位の極という。f(z)の特異点がk位の極の場合、定義によらずに留数を求めることができる。この留数を用いて、留数定理によってf(z)の複素積分が求まるわけである。今回、留数定理を中心に整理してみた。ちょっと休息（1）9月27日（金）のFacebook投稿より・・・自民党総裁...留数定理1～複素解析学の話題より
三角関数の加法定理による合成・三角不等式 ～2024年度前期日程のお茶の水女子大学文教育学部等入試より
2024年9月26日（木）三角関数の合成と三角不等式を解くお茶の水女子大学文教育学部等の入試問題を取りあげて見た。小問（1）の三角関数の合成は、加法定理を使う。一般にasinx＋bcosx＝Asin(x＋θ）と合成したとき、A=√(a²＋b²）であるが、θは本問のように数値で求まるとは限らない。なお、小問（1）は小問（2）の三角不等式を解くのに利用するための誘導となっている。小問（2）の三角不等式は、積の形に直すことで解く基本的な問題である。PQ＜0のとき、p＞0かつQ＜0またはp＜0かつQ＞0と、場合分けして解いていく基本的な問題である。小問（2）については、本にあった別解をあげた。ちょっと休息（1）9月24日（火）のFacebook投稿投稿より学びの記録今日は、岐阜学習センターに出かけた。7時35分頃...三角関数の加法定理による合成・三角不等式～2024年度前期日程のお茶の水女子大学文教育学部等入試より
2024年9月22日（日）9月20日に、独立行政法人大学改革支援・学位授与機構へ学位申請のための書類等を郵便局から書留にて送付した。このブログ「岐阜県の2025年度採用の教員採用試験の素描」の「ちょっと休憩」（2024年9月12日）で述べたように、既にWEB上での申請は完了している。20日に送付したのは、あとで記述するように証明書類等である。送付する学位申請書類等私が申請する積み上げ型の学位申請は、第3区分である。岐阜大学教育学部の卒業を基礎資格とし、その後の大学の科目履修生や正規生として履修した単位を積み上げて学位を申請するものである。私が申請したのは「学士（理学）」である。以前にも述べたように、私は既に称号も含めて学士を4つ取得している。岐阜大学卒業による称号「教育学士」（注1）と放送大学の『自然と環...学位授与機構に書類を提出する～学士(理学）の申請が完了
3重積分の計算問題を解こう ～過去の筑波大学大学院入試問題より
2027年9月20日（金）独立行政法人大改革支援・学位授与機構に提出した学習成果のレポートでは、2重積分をよく利用した。今回は、3重積分を解く計算問題をとりあげる。2重積分であれ、3重積分であれ、その解法の流れは変わらない。必要ならば変数変換を行い、次に累次積分を行う。変数分離ができる形をしていれば、解く手順は大幅に改善される。ここで、多くを述べる必要はないであろう。本ブログの問題では、変数変換・累次積分・変数分離のすべてが（解法）に利用されている。どこでどのように使われてているのか？確かめながら、問題を解いて行くことも必要であると思う。。3重積分の計算問題を解こう～過去の筑波大学大学院入試問題より
2024年9月18日（水）本文にも書いた通り、（解法）だけを見れば非常に簡単な問題にみえる。しかし、実際に受験する人にとっては、なかなか（解法）を思いつかないというのが実際であろう。こうした問題のなかで、小問（1）は非常に簡単な問題である。この結果を小問（2）にどう生かすのか？ここがこの問題のポイントとなるのだろう。ちょっと休息（1）9月17日（火）のFacebook投稿より学びの記録今日は、最低1週間に1回程岐阜学習センターに行く日でした。視聴覚ペースで放送授業の視聴・聴講を行います。放送授業はインターネット配信ですから自宅でも学習できますが、わざわざ学習センターに出かけるのは学友と歓談する機会があることと学習のモチベーションを保つためです。朝7時40分頃に家を出て、途中コンビニで昼食を購入してから、O...不等式に関する思考力を要する問題
2024年9月15日（日）微分形式を一般的に定義することは、ここではしない。私自身も、一般的な定義をよく理解できないからである。R²上の各座標(x,y)に付随させた2次元ベクトル空間V²に対して、0次・1次・2次の微分形式を定義して、その微分形式の作る空間を考える。その空間をΩ⁰(R²）、Ω¹(R²）、Ω²(R²）とする。その空間に対して、外微分を形式的に定義する。本ブログは、そうした流れで記述した。難しいかも知れないが、私自身の整理のためにもまとめたものである。ちょっと休息（1）9月13日（金）のFacebook投稿より9月11日（水）にマーサ21のある丸善に、上垣渉先生の数学教育の本を買うために出かけました。しかし、在庫がありませんでした。そこで、アマゾンに注文しましたが、今日の午前中に届きました。早...R²上の0次・1次・2次の微分形式のつくる空間と外微分
2024年9月12日（木）岐阜県の2025年度採用の教員採用試験の結果が、県教育委員会から発表されている。今年実施された教員採用試験は、従来と大きく変わった。教員志願者が全国的に減少し、教員不足が顕著になっている最近の状況を踏まえて、いろいろな方策が編み出されている。まず、教員採用試験の日程の前倒しと早期の内定者発表である。岐阜県の場合、次のような日程で実施された。一次試験・・・・・・・・6月15日（土）一次試験結果発表・・・・7月5日（金）二次試験・・・・・・・・7月20日（土）・21日（日）二次試験結果発表・・・・8月27日（金）昨年度より、試験日時が約一ヶ月前倒しされている。次に、大学3年生も一次試験を受験できるようになったことである。合格した場合は、来年度受験の際に、一次試験が免除される。さらに、...岐阜県の2025年度採用の教員採用試験の素描
空間ベクトルの問題 ～2024年度前期課程の埼玉大学教育学部数学系・経済学部入試より
2024年9月10日（火）旧教育課程では数学ⅡBに配置され、新教育課程では数学Cに移された平面ベクトル、空間ベクトルであった。数学Cの単元選択として、多くの高校では平面ベクトル、空間ベクトルがひとつの単元として履修されると思われる。平面ベクトルに対して空間ベクトルには、苦手意識がある高校生もいるだろう。ただ本問題は、空間上の平面を形成する3点が座標で与えられている。いわゆる解析幾何学、座標幾何学的な問題である。それゆえ必要なベクトルを成分表示をして、ベクトルの内積等を用いて解いていくことになる。問題としては、基本的で解きやすいと思う。ちょっと休息（1）9月8日（日）のFacebook投稿より今日、6時10分頃から稲刈り後の切り縄を集めました。畑のミカンの苗の根元や野菜畑にまくために使います。田の中に軽トラ...空間ベクトルの問題～2024年度前期課程の埼玉大学教育学部数学系・経済学部入試より
2024年9月8日（日）3次方程式が代数的に解かれた後、4次方程式を代数的に解くことが考えられた。代数的に解くとは、解の公式を代数的――四則演算とn乗根をとる操作で導出することである。本文にあるように、4次方程式の解法は最初にフェラリが見いだした。ほかに、デカルトの解法やオイラーの解法が知られている。このブログでは、フェラリの解法とデカルトの解法をとりあげた。いずれの解法も、高校数学の範囲で十分理解できる。ここでは、それぞれの方法を用いて実際に具体的な4次方程式を解くことはしなかったが、解法を見ながら数値を合わせていけば解がわかるだろう。なお、5次以上の方程式は、代数的な方法では解けない。つまり解の公式が存在しない。4次方程式の解法～フェラリとデカルトの解法
数列の和の隣接3項間の漸化式より元の数列の一般項を求める ～2024年前期日程の岡山県立大学情報工学部入試より
2024年9月6日（金）よく入試問題に出題される、数列における隣接3項間の漸化式の問題である。普通の数列の隣接3項間の漸化式と違って、和の隣接3項間の漸化式として与えられている点が目新しい。しかし、数列であれ数列の和であれ、与えられた漸化式から数列および数列の和の一般項を求めるアルゴリズムは変わらない。その求め方は、簡単に本文に記述した。本文のような漸化式の変形から、等比数列が登場してくることはすぐにわかる。結局、等比数列の問題に帰着されることは、容易に想像できよう。ちょっと休息（1）9月4日（水）の畑の草刈り9月4日の朝、6時40分頃から畑の草刈りをした。朝が早くて涼しかったこともあったのだろうか、アキアカネが畑の上をたくさん飛んでいた。一瞬、秋を感じた。（2）9月5日（木）のFacebook投稿から今...数列の和の隣接3項間の漸化式より元の数列の一般項を求める～2024年前期日程の岡山県立大学情報工学部入試より
2024年3月4日（水）9月2日付けの「ちょっと休息」の文章が長くなったので、本文に移すことにした。・・・・・・・・・・・・・・・・・ちょっと休息・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1）9月1日（日）のFacebook投稿より・・・学位授与機構への学位申請期日が迫る学位授与機構へのWeb申請が9月10日（火）から始まります。提出するレポートとレポ－トの趣旨の最終的なチェックをしました。抜けていた事項を追加したりしていたら、表紙と目次を除いて17ページになりました。規定通りですから、期日がきたら提出します。修得単位の申請も条件を満たしていますので、後はWeb上から打ち込むだけです。単位の方は、余分にたくさんありますから心配していません。Web申請の後、9月20日から所定の宛名を印刷して書留...学位授与機構への学位申請期日が迫る
2024年9月2日（月）不動点とは、集合Mから集合Mへの写像f：M→Mにおいて、x∈Mでf(x)＝xとなる点xのことを言う。ブラウエル（ブラウワー）の不動点定理は、本文で述べるようにコンパクト凸集合からそれ自身への任意の連続函数fに対して、f(x)=xを満たす点x、すなわち不動点が存在すると言う位相幾何学の定理である。この定理は、実に幅広い応用をもつ。また、考える空間によって、拡張されて述べられる。例えば、バナッハ空間（注）では、（シャウダーの不動点定理）バナッハ空間のコンパクト凸部分集合Kからそれ自身へのすべての連続函数は不動点を持つと言うように・・・・。（注）ノルム空間Vがバナッハ空間であるとは、V内の各コーシー列{vn}_(1,∞)に対して、Vの適当な元vを選べばとすることができるときにいう。ちょっ...境界のある多様体上のブラウエルの不動点定理
単振動に関する基本的な問題 ～2024年度の広島工業大学入試問題
2024年8月31日（土）前回のブログ減衰振動（2024年8月29日）で、初期値に基づいて定数係数の2階同次線型方程式を解く減衰振動に関する問題をとりあげた。今回は、広島工業大学の単振動に関する入試問題をとりあげてみた。私自身が物理基礎・物理の入試問題を解いた経験が少ないので、基礎的なやさしい問題しか解けない。本当は物理基礎・物理の入試問題が数学のように解けるといいのだが、こればかりは私の能力の問題もあってそうもかない。そうは言っても、放送大学で物理学を学んでいる以上、少しずつ入試問題を解いてこのブログで紹介していきたいと考えている。今回の問題は、本当に基礎的な問題である。ちょっと休息（1）8月30日（金）のFacebook投稿より学びの記録今日は14時からサークル『おもしろ物理』のある日でしたので、8時...単振動に関する基本的な問題～2024年度の広島工業大学入試問題
2024年8月29日（木）減衰運動とは、振幅が時間とともに徐々に小さくなるような振動現象である。1つのばねの単振動の周期は、一定である。しかし、現実には抵抗があって、単振動のように常に振動が永遠に続くわけでない。減衰振動、過減衰、臨界減衰の現象が現れる。これらについては、力と運動の物理学の本を見ていただきたい（注）。ただ減衰振動・・・ばねの力に対して、抵抗力が弱い振動過減衰・・・・ばねの力に対して、抵抗力が強い振動臨界減衰・・・減衰振動と過減衰との境界上の振動とだけ、一事触れておこう。ここで微分方程式を解く問題としてのみ、減衰振動を扱う。すなわち、その物理学的な意味に触れないで、与えられた初期値に基づいて定数係数の2階同次線型方程式を解く事に力点を置く。減衰振動については、解のグラフから直観的に理解してい...減衰振動
2024年8月27日（火）円錐曲線とも言われる円・楕円・双曲線・放物線の2次曲線のうち、楕円をとりあげる。2次曲線は、現在新課程での数学Cの中で取り扱われている。私が高校生であった55年弱前にも教えられていたから、こなれた教材であると言えよう。余談になるが、中世の大学で円錐曲線を習う頃になると、学生の反乱が起きるというのは、有名な話である。難しくて、当時の学生には理解できなかったからであろう。解析幾何学では、行列を用いて2次曲線を考察するが、ここでは数学Cの範囲以上のことには触れなかった。（訂正）1枚目3行目（誤）数学Ⅲ→（正）数学C2次曲線、特に楕円について～数学Cの話題
2024年8月25日（日）前回とりあげた山口大学の入試問題、関数の積に関する定積分の問題～2024年度前期日程の山口大学医学部・理学部（数理科学）入試より（2024年8月23日）は、今回とりあげる合成積を意識した出題だった。こうしたこともあって、このブログで合成積を取りあげてみることにした。このブログでは、合成積の基本定理（交換法則と結合法則の成立）と合成積の計算しか扱わなかった。したがって、山口大学の入試問題と同様に高校数学（数学Ⅲ）の範囲内である。したがって、今回の内容は数学Ⅲを学ぶ高校生でも理解できるだろうと思う。高校数学を離れよう。合成積の意味については出典不明（わからなくなってしまった）の文献から引用したが、深い事項を知りたい場合は次のブログを参考にしていただきたい。高校数学の美しい物語合成積（...関数のたたみ込み（合成積）
関数の積に関する定積分の問題 ～2024年度前期日程の山口大学医学部・理学部（数理科学）入試より
2024年8月23日（金）2つの関数f(x)とg(a-x)の積の定積分∫_[a,b]f(x)g(a-x)dxを求める問題である。関数のたたみ込み（合成積）、(f※g)(x)＝∫_[0,x]f(t)g(x-t)dtに類似した積分である。与えられた2つの関数f(x)とg(x)から、定義にしたがって定積分を計算すればいい。積分計算は、それほど難しいわけでない。関数の積に関する定積分の問題～2024年度前期日程の山口大学医学部・理学部（数理科学）入試より
2024年8月21日（水）既に私のブログ微分可能な多様体の接ベクトル空間1（2024年7月24日）微分可能な多様体の接ベクトル空間2（2024年7月28日）で微分可能な多様体をとりあげた。その際、「微分可能な多様体（可微分多様体）については、いずれ別の機会に述べたい」と記述した。私の最も関心の深い多様体の話題を今後もブログで述べていくにあたって、やはり定義をしっかりと示していきたいと思った。幾何学での定義は、確かに複雑である。一見したところ何を言っているのかわからない、と言うことが多い。しかし、図（2次元であるが）などを利用して自分なりにイメージをしていくことによって、やがて理解できるようになるらしい。私もそのような方法で、ゆっくり理解してきた。境界のない多様体（例えば、球）と境界のある多様体（例えば、球...微分可能な多様体の定義
値が同じ2つの定積分(置換積分） ～2024年度前期日程の香川大学医学部入試問題より
2024年度8月19日（月）高校数学（数学Ⅲ）の積分計算の重要な方法は、置換積分と部分積分である。置換積分は、∫f(x)dxでx=g(t)とおく。すると、dx=g'(t)dtとなるから、∫f(g(t))g'(t)dtと計算する方法である。本ブログの計算は、この置換積分で計算する方法である。ただし、上の場合は不定積分の場合であるが、定積分の場合は積分範囲も変換する必要がある。部分積分は、∫f’(x)g(x)dx=f(x)g(x)－∫f(x)g'(x)dxを計算する方法である。これは、2つの関数の積の微分公式から導くことができる。すなわち、{f(x)g(x)}'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)∫{f(x)g(x)}'dx=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)∴∫f'(x)g(x)dx＝f(x...値が同じ2つの定積分(置換積分）～2024年度前期日程の香川大学医学部入試問題より
放送大学の2024年度1学期の成績発表と2学期の科目登録について
2024年8月17日（土）2024年度1学期の成績発表放送大学の8月15日（木）の10：00から全科履修生、14：00から選科履修生や科目履修生等の2024年度1学期の成績発表がシステムWAKABA上で行われた。私は、選科履修生なので、この日の14：00過ぎに成績を確認した。単位修得の可否だけならば、いわゆる教務システムWAKABAの裏技で放送授業の『樋口一葉の世界'23』について合格していることがわかっていた。また、面接授業の『精神医学の基礎』についても、「所属コース変更・カリキュラム移行シミュレーション」から偶然に合格していることがわかった。だから、気楽に成績発表を見ることができた。私はそれほど成績にこだわっていないので、ここに公表しておこう。感想として、単位認定試験が「できた」と言う感じがしなかった...放送大学の2024年度1学期の成績発表と2学期の科目登録について
2024年8月15日（木）高校数学（数学Ⅲ）でもよく登場してくる関数x/(e^x)のx→∞の極限値を求める問題である。直観的にxが無限大になる早さとe^xが無限大になる早さと比べれば、後者の方が遙かに早いということがわかる。したがって、x/(e^x)→0(x→∞）が理解できる。このことをいろいろな方法で証明することが、本ブログの主題である。まず、2019年の和歌山大学の入試問題を解くことで証明する。次に高校数学を離れて、マクローリン展開を用いる方法で示す。なお、ロピタルの定理を用いれば直ちに証明できるが、ロピタルの定理が適用できる条件をきちんと明記しておくことが必要である。ちょっと休息（1）8月13日（火）のFacebook投稿より2～3日前に、居間のテレビのリモコンが全く効かなくなりました。電池交換して...x→∞のときの関数x/e^xの極限値に関する話題
多項式の除法に関する問題 ～2024年度前期日程の香川大学数学必須・選択学部・学科の入試より
2024年8月11日（日）多項式の除法についての標準的な入試問題を、香川大学の入試問題からとりあげた。基本は多項式f(x)を多項式g(x)で割ったときの商Q(x)、余りとするとき、f(x)=g(x)Q(x)+R(x)ただし、degf(x)＞degg(x)degg(x)＞degR(x)とすると表すことができることである。本問は、この基本的な等式から（解法）していくことになる。ちょっと休息（1）8月10日（土）のFacebook投稿より学びの記録今日は10時からお盆のお参りを自宅で行う予定でしたので、それまでの間、放送授業の『枕草子の世界'24』の第9章「多様化する文体」を聴講しました。この章のシラバスには、以下のように記述されています。「定子に仕える女房たちの大内裏･内裏の散策、清少納言の住まいの美学、雪に...多項式の除法に関する問題～2024年度前期日程の香川大学数学必須・選択学部・学科の入試より
2024年8月9日（金）4次相反方程式x⁴＋x²＋1=0を解く方法を、思いつくままにあげてみた。（解法）を見れば、納得ができると思う。（解法）は、高校数学にこだわっていない。自由に・・・と言うことである。ちょっと休息（1）8月7日（水）のFacebook投稿学びの記録今日は、8時50分に岐阜学習センターの学生控え室に到着しました．9時5分まで休息を取って、視聴覚スペースに入室しました。単位認定試験も終わり、次学期の履修科目を考える時期なのか、私以外誰もいませんでした。いつものように、『枕草子の世界'24』を視聴しました。第8章「子どもの情景と『かわいい』の発見」で、枕草子全体に展開されている子ども姿の描写を見ることです。そして「かわいいもの」に価値をおく清少納言の美意識について、語られました。10時20分...4次相反方程式をいろいろな方法で解く
2024年8月7日（水）申請に必要な書類と申請期間私はブログ2024年4月以降の私の新たな挑戦～学位授与機構への学位の申請（2023年8月23日）で述べたように、学びの最終到着点として、学位授与機構に「学位（理学）」の申請をしようと決意した。学位授与機構への学位申請のための必要書類は、以下の通りである。『新しい学士への道学位授与申請案内令和6年度版』からの引用である。私は上の表の区分で「第3区分」による申請である。申請は、電子申請と書類の郵送の2つで行われる。申請に不備がない場合、学位の審査は次の2通りの方法でなされる。（Ⅰ）修得単位数の審査（Ⅱ）学業成果・試験の審査（Ⅰ）・（Ⅱ）の両方の審査に合格した場合に学位が授与される。（Ⅰ）・（Ⅱ）の一方が不合格の場合は、最初の審査結果ら3年間は不合格の部分を再申...学位授与機構への学位申請のための書類を揃える
数列の漸化式に関して再び ～2024年度前期課程の室蘭工業大学理工学部の入試より
2024年8月5日（月）本文でも述べたように、数列の漸化式は多くの大学が出題する項目である。多くを述べる必要がないだろう。問題としてはやさしいので、とにかく自力で解いて欲しい。ちょっと休息（1）2024年度1学期の単位認定試験の問題の整理2024年度1学期の単位認定試験の問題が、8月1日にWeb上で公開された。私はいくつかの科目――特に近い時期に受講したいと思っている科目や数学・物理学に関する科目については、問題をノートに貼り付けることで整理した。数学科目の『入門線型代数'19』を整理しているとき、問題が易しく復習によいと思って解いてみた。択一式の全10問を解くのに15分かからなかった。私はこの改訂前の『入門線型代数'14』を2017年2学期に岐阜学習センターの試験会場で受験して単位を取得した。そのときの...数列の漸化式に関して再び～2024年度前期課程の室蘭工業大学理工学部の入試より
2024年8月3日（土）数学ではそれぞれの分野でよく利用される不等式が存在する。分野を問わず有名な不等式は、例えば三角不等式、相加平均≧相乗平均、シュワルツの不等式、ボルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式・・・などである。このブログで取りあげた不等式は、知らない人がほとんどだと思う。私も、知らなかった。しかし、不等式の形がきれいだし、本当に成り立つだろうかという気持ちにさせる。証明の基本は、数学的帰納法である。ちょっと休息（1）8月1日（木）のFacebook投稿より学習の記録今日は自宅を7時30分頃に出かけ、OKBふれあい会館の駐車場に着いたのは8時20分頃でした。すぐに、岐阜学習センターの学生控え室にいき、荷物をロッカーに入れて9時まで休憩していました。視聴覚スペースのいつも私が学習する机でパソコン...ある不等式の証明問題
2次方程式・2次関数に関する問題 ～2024年度前期日程の東京都立大学文系学部・文系学科の入試より
2024年8月1日（木）もう8月である。暑い毎日が続いている。8月になると、多くの大学の数学入試問題を知ることができるようになる。今後とりあげる地方国立大学や公立大学の数学の問題は――あるいは解答なども旺文社刊『2025年度受検用全国大学入試問題正解数学（国公立大学編)』旺文社刊『2025年度受検用全国大学入試問題正解数学（追補掲載編)』を参考にしている。2024年度国公立大学の2次試験実施後は、問題を知ることができたのは、旧帝国大学など有名大学の限られていたが、この時期になると地方国立大学や公立大学の入試問題を参考にできるようになったわけである。上の諸本以外にも入試問題集を参考にできるようになってきた。こうした理由から、地方国立大学や公立大学あるいは一部の私立大学の数学入試問題をとりあげていくことになる...2次方程式・2次関数に関する問題～2024年度前期日程の東京都立大学文系学部・文系学科の入試より
2024年7月30日（火）7月27日（土）は、ある観光バスのツワーで京都迎賓館の見学に出かけた。簡単にその日の1日を振り返っておこう。なお、歩く場所が多かったこともあって、この日の歩数は、13000歩以上となった。京都の夏は、暑かった。8時10分に名神高速道路羽島インターのすぐ近くのバローの駐車場から観光バスは出発した。まず、昼食場所である八つ橋庵に向かった。京都西インターからの市内の道路が混んでいたが、それでも10時30分頃には、昼食場所に到着した。店内で土産などを購入して時間を費やした後、昼食の準備ができたということで昼食場所に出かけた。土産は生八つ橋と娘の希望でバームクーフェンを購入した。昼食はゆば蒸しごはんのセットで、量も多く味もよかった。大変満足であった。12時過ぎに八つ橋庵をあとにして、錦市場...京都迎賓館、錦市場を巡る観光ツワーに参加
2024年7月28日（日）前回のブログ、微分可能な多様体の接ベクトル空間1（2024年7月24日）のつづきとして、今回も接ベクトル空間のいくつかの基礎的な性質を扱ってみる。まず接ベクトル空間は、局所座標の取り方に依存することなく、ベクトル空間としては同一であると言うことである。定理4の主張である。次に、局所座標で表された2つの接ベクトル相互の成分の変換則である。接ベクトルの基底は共変基底であるから、その変換則による成分のベクトルは反変ベクトルとなる。しかし、そのことには深入りせずにに普通に接ベクトルを表記したのが定理4である。今回の主題は、上に述べた2つである。接ベクトル空間のごく基本的な部分を考えて見たのである。（訂正）本文2枚目下から6行目（誤）半変基底→（正）反変基底ちょっと休息（1）7月26日（金...微分可能な多様体の接ベクトル空間2
記号⌈x⌉を用いた不等式・方程式 ～2024年度前期日程の鳥取大学医学部医学科の入試より
2024年7月26日（金）面白い問題である。私は始め記号⌈x⌉を、ガウス記号[x]と思っていた。問題を解くにあたって、問題文をよく読んでみたら、ガウス記号[x]と違うことに気づいた。記号⌈x⌉とガウス記号[x]とは定義が異なるが、ガウス記号[x]の場合と同じように解くことができる。小問（1）は⌈x⌉＝mとおけば、mに関する2次不等式になる。小問（2）は、⌈x＋4/3⌉＝mとおく。(x＋4/3)－1＝x＋1/3との関係を使う。すると、⌈x＋1/3⌉＝m－1となる。小問（3）は、（解法）の通りである。記号⌈x⌉を用いた不等式・方程式～2024年度前期日程の鳥取大学医学部医学科の入試より
2024年7月24日（水）微分可能な多様体（可微分多様体）については、いずれ別の機会に述べたい。ここでは、多様体の接ベクトル空間（接平面）について、そのさわりを考えてみたい。微分可能な多様体については、かってそして現在も私がを最も関心もって学習している分野である。接ベクトル空間とは、例えば2次元の曲面のある点の接平面を考えるとわかりやすい。曲面がz=f(x,y)であたえられるとき、その全微分は、dz＝｛∂f(x,y)/∂x｝dx+｛∂f(x,y))/∂y｝dyで表すことができる。ここに出てくる∂/∂x∂/∂yを基底（基底ベクトル）として、接ベクトルはv＝a(∂/∂x)+b(∂/∂y)と表すことができる。このベクトルvが生成する空間を接平面というわけである。このブログの内容は、この2次元の曲線の接空間の概念...微分可能な多様体の接ベクトル空間1
重複順列の問題 ～2024年前期日程の鳥取大学医学部医学科以外の学部・学科の入試より
2024年7月22日（月）重複順列に関する数学Bの教科書の例題程度のやさしい問題である。この問題の場合、右方向の異動を→で表し、上方向を↑で表すとする。すると、AからBに行く場合、道順は→→→→↑↑↑↑↑の並べ方による。例えば並べ方が→↑↑↑→↑→→↑の場合の道順は、右上上上右上右右上に対応する。すなわち、→4つ、↑5つの同じ物を1列に並べる重複順列になる。その方法は、9！/(4！・5！)＝9・8・7・6/4・3・2・1＝126となるわけである。やさしいので、全問解いてほしい。ちょっと休息（1）7月19日（金）のFacebook投稿より学びの記録今日は暑い日でしたので、室内に閉じこもりました。エアコンをつけっぱなしにしました。そして、図の挿入を除いて、学位授与機構に提出する学修成果のレポートを完成させまし...重複順列の問題～2024年前期日程の鳥取大学医学部医学科以外の学部・学科の入試より
2024年7月19日（金）位相空間の3つめの定義として、近傍系を定めることについて述べてみた。近傍とは、ごく簡単にある多様体の1点xを含む開集合のことである。例えば、球体Vと球面Sを考えて見よう。球体の境界面∂V上に1点xをとる。境界面∂Vと球面Sとは、xの近傍が違う。このことから、球体Vと球面Sとは、多様体として別のものであることがわかる。このように、点xの近傍とは我々の常識的な範囲で理解できる概念である。位相空間の3つの定義について2～近傍系による定義
数列の漸化式に数学的帰納法を用いる問題 ～2024年度前期日程の愛知教育大学教育学部数学関連のコースの入試より
2024年7月17日（水）数学的帰納法を用いた証明問題は、いろいろな場面で登場する。その証明方法から、自然数に関する場合によく利用される。例えば、このブログでは整数（倍数）の論証問題～2023年前期日程の富山大学医学部・薬学部・理学部（数学科）入試より（2023年12月26日）の小問（3）が、その例である。数学的帰納法は、帰納的に発見された命題を証明することから、当然結論がわかっている場合に用いられる。数学的帰納法は、自然数との性質に密着した証明方法と言えよう。このブログで今回取りあげた愛知教育大学教育学部数学系のコースの入試問題は、数列の漸化式が与えられてa_1が無理数のときにa_nが無理数であることを示すものである。途中、背理法を利用するところがあるところが難しく感じるかも知れない。しかし、数学的帰納...数列の漸化式に数学的帰納法を用いる問題～2024年度前期日程の愛知教育大学教育学部数学関連のコースの入試より
2024年7月15日（月）位相空間の定義は、周知のように全体集合の部分集合族に対して①開集合を指定する、➁閉集合を指定する、③近傍を指定することの3通りの方法がある。これら3通りの定義は、すべて同値である。すなわち、そのうちの1つを定義として採用すれば、残り2つは定理として証明される。位相空間論の多くの本は、①を定義として採用している。閉集合とか開集合とかは、部分集合族が全体集合のなかでどのような位置にあるかを定めるものである。部分集合族の中で全体集合と空集合は、開集合であり閉集合でもある。ちょっと休息（1）7月13日（土）のFacebook投稿梅雨の晴れ間、今日は暑くなかったこともあって朝の7時50分頃から9時過ぎまで畑の中の草刈りをしました。私はCOPDを煩っていますので、長い時間の草刈りはできません...位相空間の3つの定義について1～開集合・閉集合による定義
基本対称式に関する問題 ～2024年度前期日程の静岡大学理学部数学科の入試より
2024年7月13日（土）3次方程式ax³＋bx²＋cx＋d＝0の解をα,β,γとするとα＋β＋γ＝－b/a,αβ＋βγ＋γα＝c/a,αβγ＝－d/aという関係がある。この関係を、3次方程式の解と係数の関係という。証明は簡単で、因数定理を使う。α,β,γは解であるから、ax³＋bx²＋cx＋d＝a(x－α)(x－β)(x－γ)と書ける。この式の左辺と右辺を比較すると、3次方程式の解と係数の関係が導かれる。ここで、登場するα＋β＋γ,αβ＋βγ＋γα,αβγを基本対称式という。静岡大学理学部数学科の入試問題は、この基本対称式に関する問題である。任意の対称式は、この基本対称式で表すことができる。ちょっと休息（1）7月12日（金）のFacebook投稿より今日は、月1回の小嶋智先生の地球科学のセミナーが9時3...基本対称式に関する問題～2024年度前期日程の静岡大学理学部数学科の入試より
2024年7月11日（木）前回のブログ；空間曲線の曲率ベクトルと曲率1～古典的な微分幾何学より（2024年7月7日）のつづきとして、曲率ベクトルと曲率をx(t)、x'(t)、x''(t)で表す。そして、つぎに一変数関数y＝f(x)上の点(t,f(t))における曲率を求める公式を導く。両方の公式とも、きれいな形をしてない印象を受ける。しかし、古典的な微分幾何学の曲線論では重要な定理のひとつである琴に変わりがない。やはり、しかりと理解しておきたい。ちょっと休息（1）7月9日（火）のFacebook投稿より学びの記録今日は先週5日に続いて、岐阜学習センターに出かけました。途中の道路が混んでいないこともあって、8時45分にはOKB触れあいセンターの駐車場に到着しました。この時刻のわりには、駐車場は混んでいました。...空間曲線の曲率ベクトルと曲率2～古典的な微分幾何学より
定積分の計算と微分方程式 ～2024年度前期日程の横浜国立大学理工学部・都市科学部入試より
2024年7月9日（火）毎年大問1で微積分の基礎的な計算問題を出題している横浜国立大学であるが、今回は小問（2）で微分方程式の特別解を求める問題が出題された。微分方程式を解くことを数学Ⅲではほとんどやらないが、理工学部では非常に重要だから出題されたのであろうか？この微分方程式を解くことは、それほど難しくない。本文で述べたように、∫ff'dxの形の不定積分が重要になる。これは、小問（1）でも同様である。定積分の計算と微分方程式～2024年度前期日程の横浜国立大学理工学部・都市科学部入試より
2024年7月7日（日）古典的な微分幾何学の中の曲線論の話題である。周知のように、古典的な微分幾何学は空間曲線と曲面を研究する分野であるが、曲線論につては大きな成果を上げた。しかし、曲面論については不十分であった。今回の話題は、空間曲線の曲率ベクトルと曲率についてである。まず、空間曲線の曲率ベクトルと曲率の定義を与える。そのあとに具体的に曲線を与えて、曲率ベクトルと曲率を定義に基づいて求めて見よう。訂正1枚目3行目誤3次元ユーグリッド空間内の直線→正3次元ユーグリッド空間内の曲線空間曲線の曲率ベクトルと曲率1～古典的な微分幾何学より
相加平均＞＝相乗平均の一般の場合の1つの証明 ～2024年前期日程の一橋大学経済学部・データサイエンス学部入試より
2024年7月5日（金）再び、相加平均＞＝相乗平均の一般の場合の証明をとりあげる。一橋大学の経済学部・データサイエンス学部（新設学部）の入試問題で、相加平均＞＝相乗平均の一般の場合の証明に関する問題が出題されたからである。本文でも書いたとおり、この証明方法を私は知らなかった。相加平均＞＝相乗平均の一般の場合の証明は、相加平均≧相乗平均の証明（2023年11月23日）でも触れている。このブログでは、y=logxが上に凸関数であることを使う証明があげてある。また、併せて2023年度前期課程のお茶の水大学理学部で出題された相加平均＞＝相乗平均の証明についての話題にも触れた。相加平均＞＝相乗平均の一般的な証明は、いろいろあるのだとの印象だった。ちょっと休息（1）7月3日（水）のFacebook投稿より今日は久しぶ...相加平均＞＝相乗平均の一般の場合の1つの証明～2024年前期日程の一橋大学経済学部・データサイエンス学部入試より
2024年7月3日（水）7月に入った。毎日、雨と暑い日が続く。物理学でよく登場するのは、ベクトル場の発散とベクトル場の回転である。ベクトル場の発散の方は、ナプラ演算子∇とベクトル場との内積で定義される。すなわち、ベクトル場v＝v_xe_x+v_ye_y+v_ze_zに対して∇・v＝(e_x∂/∂x+e_y∂/∂y+e_z∂/∂z)・(v_xe_x+v_ye_y+v_ze_z)=∂v_x/∂x+∂v_y/∂y+∂v_z/∂zと定義される。なお、∇・v＝divvのようにも書かれる。発散強度は、湧き出しの強さを表す。ベクトル場の発散強度は、スカラー量である。今回は、ベクトル場の回転の方をとりあげる。ベクトル場の回転は、ベクトル量である。なお、任意にベクトル場は、純粋発散型と純粋回転型の重ね合わせとして表すことが...ベクトル場の回転～ベクトル解析の話題より
データの分析 ～2024年度前期課程の広島大学理系の入試より
2024年6月30日（日）数学Ⅰの統計学の分野は、新課程で大きく変わった。データの散らばりと四分位範囲、箱ひげ図等が中学校2年生の数学に移った。相関係数関連の部分と推測統計学のさわりである仮説検定の考え方が、数学Ⅰの単元「データの分析」で扱う事項である。記述統計学の多くの分野が中学校数学に移ったのは、統計的な扱い方を早く習得させたいとの思いからであろう。2024年度の2次試験は、旧課程からの出題である。この広島大学の入試問題は、この分野からの出題であるが、基本的事項を問う問題で構成されている。是非、解いていただきたい。基本的な概念が修得されているかどうか、確認するためにもいい問題である。是非、解いていただきたい。ちょっと休息（1）6月28日（金）のFacebook投稿より昨日と同様に、学びの記録今日（28...データの分析～2024年度前期課程の広島大学理系の入試より
2024年6月28日（金）大学の教養課程（1年生位）でとりあげられる不定積分の問題を解いておこう。問題（1）（2）は、基本的な問題である。しかし、問題（3）は計算も複雑である。本ブログでは、この問題をよく知られた方法で解かずに、小針あき宏著『数学I・・・8高校からの数学人門』(日本評論社、1996-6)の中に記述されていた方法を紹介したい。問題（2）が利用されている。ちょっと休息（1）6月26日（水）のFacebook投稿より学びの記録今日自宅で、午前中はブログの記事を書きながらベクトル解析（発散）の復習をしました。午後は学位授与機構への提出レポートの整理（多変数関数の微積分と第Ⅰ基本量）をずっと学習していました。自宅でこれほど集中したのは、久しぶりです。今度岐阜学習センターへ出かけるのは、6月28日（金...ある関数の不定積分～新たな方法で求める
2024年6月25日（水）個人的な思いをアップする。この時期、放送大学2024年度2学期の入学者の受付が始まっていることもあって、『授業科目案内』が各学習センターでもWEB上でも入手できる。1学期の単位認定試験がまだ実施されていないのに2学期の履修科目とは少し早くないか、との思いもないではない。しかし、私の1学期の履修科目は『樋口一葉の世界’23』1科目のみであり、面接授業2科目も既に履修が終わっている。学位授与機構に提出するレポートの準備も順調に進んでいる。その試験が12月15日（日）に大阪で行われる（注）こともあって、早めに予定を立てておきたい気持ちがある。放送大学の2024年2学期の『授業科目案内』私は現在選科履修生であるから、卒業のためにコース科目や単位数を意識する必要がない。学位授与機構の試験準...放送大学の2024年度2学期の履修予定科目
2024年6月23日（日）以下のブログで、楕円x²/a²＋y²/b²=1の点(p,q)における接線の方程式はpx/a²＋qy/b²=1であることを示し、この方程式を利用して接線に関する問題を解いてきた。楕円の接線に関する問題1～解析幾何学の話題より（2024年6月19日）今回も、接線に関する問題である。楕円の接線がx軸、y軸で切り取られるときの長さの最小値を求める問題である。三角関数を駆使して問題を解くので、その分難しくなっている。ただし、この問題は高校数学の数学Ⅲの範囲である。ちょっと休息（1）6月21日のFacebook投稿より学びの記録6月18日（火）のスマートフォン紛失騒動で学習ができなかったので、今日岐阜学習センターに出かけました。朝7時40分頃に自宅を出て、途中コンビニで弁当を購入してからOK...楕円の接線に関する問題2～解析幾何学の話題より
Facebookへの投稿2題 ～スマートフォーン紛失騒動とJAにしみの第25回通常総代会
2024年6月21日（金）直近のFacebook投稿から2題を転記して、本文として掲載する。スマートフォーン紛失騒動・・・・・・・・・・・・6月18日（火）のFacebook投稿から（一部、改変）・・・・・・・・・・・・・・今日は、最悪な日でした。朝、7時30分頃に自宅を出発して岐阜が習センターに出かけました。途中海津市平田町のコンビニで弁当を購入しました。OKBふれあい会館の駐車場に着いたのは、9時50分頃でした。雨がひどく降っていて、交通渋滞もひどかったです。いつもより相当時間がかかりました。岐阜学習センターの学生控え室で自販機のコーヒーを飲んで休息した後、9時15分頃に視聴覚スペースに入りました。そこのパソコンを起動してすぐに、電話をかけるところがあったことを思いだしてので視聴覚スペースの外に出まし...Facebookへの投稿2題～スマートフォーン紛失騒動とJAにしみの第25回通常総代会
2024年6月19日（水）円・楕円・双曲線・放物線等の2次曲線は、新課程の高校数学では「数学C」に属する教材である。前回のブログ2次形式の標準化（2024年6月17日）とも関連が深い。今回は2次曲線のなかで、楕円をとりあげる。特に、楕円の接線に関する話題を取りあげてみた。本ブログでは、楕円の接線の公式を求めるのに、微分法を用いた。ただ、それは2変数の微分をおこなうので数学Cでは扱わない。それでは、高校数学ではどう扱うのか？数研出版の教科書では必須ではなく、「研究」という発展教材となっている。微分法でなく、下のような方法で接線の方程式が導かれている。数研出版『数学C』第4章「式と計算」P138から引用微分法を用いて接線の方程式の公式を導き、その接線に関する話題をとりあげよう。ちょっと休息（1）6月18日（火...楕円の接線に関する問題1～解析幾何学の話題より
2024年6月17日（月）新課程の高校数学の数学Cの単元で、『式と曲線』の第1節「2次曲線」に関連する部分である。正確にいうと、2次形式を標準化した式が数学Cの「2次曲線」に関連あるのだろう。2次形式ax²＋2hxy+by²を行列の固有値を用いて標準化する方法を示したい。行列Aの固有値とはAλ＝λx（x≠0）となるλのことである。Aが2次正方行列ならば、固有多項式は2次式になるから（重解は2個と数えると）2個の固有値が存在する。その2個の固有値に属する単位固有ベクトルPを用いて、（P^－1）AP＝Dを計算することによって、標準化するのである。ちなみにDは対角行列で、対角成分には2個の固有値が並ぶ。ちょっと休息（1）2025年度採用の岐阜県教員採用1次試験が6月15日に実施される全国的な教員のなり手不足対策...2次形式の標準化
2024年6月15日（土）高校の新課程の数学Cの教材「平面のベクトル」からの出題である。本文でも述べたように、やさしい問題である。この問題の小問（2）のポイントは、原点を含む△OABの面積の求め方である。すなわち、O(0,0),A(p,q),B(r,s)のとき、△OABの面積△OAB=(1/2)・ ps－qr となることである。このことを知っていれば、小問2は容易に解ける。なお、三角形の3つの頂点が原点でない場合は、1点を原点に移すように他の2点を平行移動すればいい。ちょっと休息（1）6月14日（金）のFacebook投稿より・・・学びの記録昨日（6月14日）に岐阜学習センターに自習のために出かけました。朝ちょっとした用事があって出かけるのが遅くなりましたので、OKBふれあい会館の駐車場に到着したのは9時...平面上の2つの三角形の面積が等しくなることに関する問題
2024年6月13日（木）4次元ミンコフスキー空間は、アインシュタインの特殊相対性理論の数学的基礎を与える。特殊相対性理論は、周知の通り次の2つを公理（原則）としている。（1）運動は、相対的である。すなわち、物理法則に関してすべての慣性系は対等である。（2）真空中の光の速さは。光源の運動状態に無関係である。すなわち、光速度不変の原理である。特殊相対性理論については、これ以上深入りをしない。専門書やWikipediaなどのネット上の情報を参照にしていただきたい。本ブログは、ミンコフスキー空間での内積、すなわちミンコフスキー計量について整理したものである。周知のように、ミンコフスキー空間での内積は、普通の内積の公理を満たさない。そのために、擬内積と呼ばれている。なお、内積の公理とは、実内積（ベクトルが実数成分...擬内積について（4次元ミンコフスキー計量）
2024年6月11日（火）私が2014年4月に放送大学の選科履修生として入学した理由のひとつに、高校時代にあまりわからなかった物理を再履修してある程度理解できるようにしようということがあった。実際、2014年1学期には、初歩からの物理学―物理へようこそ'12物理の世界'11を履修した。ただ、この年の4月から急にある私立高校の数学の非常勤講師として勤めることになったので、履修した2科目はほとんど学習できなかった。2学期に再履修してもう放棄しようと思ったが、2学期もじっくり学習できるわけがないので、とにかく5月には一夜漬けで通信課題を解いて郵送した。7月の単位認定試験は、今と違ってその科目の決まった日時と時間に岐阜学習センターで全国一斉に受験するしくみであった。もちろん、印刷教材の持ち込みは不可であった。『初...放送大学教材『物理の世界'24』について
2024年6月9日（日）n次正方行列Aの対角化とは、n次対角行列Dとn次正則行列Pが存在して、となるようにできることをいう。行列Aが対角化できる必要十分条件は、行列Aの固有ベクトルだけでn次元ベクトル空間の基底が構成できることである。このとき、それらの縦ベクトルを横に並べて正則行列Pができる。となるわけである。Dの対角成分は、行列Aの固有値となる。行列Aの固有値が全部異ならない場合、対角化できるとは限らない。対角化できなくても、対角化に近い形で表現できるようにしたい、と言う要求からジョルダン標準形が考えられた。ジョルダン標準形とは、マスオ著『高校数学の美しい物語』より引用の形をした行列を言う。ジョルダンブロック（ジョルダン細胞）とは，対角成分に同じ固有値の値を並べ、一つ上の部分には1を並べた行列のことをい...最小多項式とジョルダン標準形
2024年6月7日（金）2次正方行列を考えよう。行列が高校の教材にあったときには、ケーリー・ハミルトンの方程式がよく登場していた。ケーリー・ハミルトンの方程式とは、次の方程式を言う。n次正方行列に拡張すると、ケーリー・ハミルトンの方程式は次のようになる。＜ケーリー・ハミルトンの方程式の定義＞n次正方行列Aの固有多項式をΦ_A(λ)=det(A—λE)とするとΦ_A(A)＝0が成立する。これを、ケーリー・ハミルトンの定理という。この定理は、ある多項式に行列Aを代入すると、零行列となるような多項式が存在することを保証している。このような多項式の中で最低の次数の多項式を、最小多項式という。本ブログは、ある3次正方行列の最小多項式を求めて見よう。最小多項式は、次回の2次・3次正方行列のジョルダン標準形と関係が深い...最小多項式
2024年6月5日（水）6月1日（土）・2日（日）には岐阜学習センターで面接授業『地球科学概論』を受講した。講師は、私が現在参加している岐阜学習センターのセミナー『造山論の歩みと日本列島』の講師でもある小島智先生である。6月1日・2日とも朝7時40分頃に自宅を出て、途中コンビニで弁当を購入してから1時間ほどでOKBふれあい会館の駐車場に到着した。すぐに岐阜学習センターの学生控え室に行った。ロッカーに弁当と鞄を入れてから、面接授業の会場であるOKBふれあい会館第2棟の6階の6A研修室に向かった。面接授業は9時30分から始まるので、まだ時間的な余裕があった。研修室の自分の座る席に面接授業を受講するに必要な筆記道具等をおいて、再び2階の学生控え室に向かった。講義が始まるまで、そこで休息する。以前にも書いたが、私...面接授業『地球科学概論』を受講する
2024年6月3日（月）本文に入る前に、整数の倍数と約数の定義を与えておこう。＜倍数・約数の定義＞a，bを整数とする。a=kb(kは整数）と書けるとき、aは、bの倍数bは、aの約数という。0＝k・bと書けるから、0は、すべての整数の倍数である。すべての整数は、0の約数である⇔0の約数は、すべての整数であることを頭に置いていてほしい。半順序集合・全順序集合
円とおうぎ形に関する問題のつづき ～面積に関する中学数学の難問
2024年6月1日（土）2024年5月24日（金）のサークル『おもしろ物理』の場で、私は以下のブログ円とおうぎ形に関する問題～面積に関する中学数学の難問（2024年5月5日）に述べた内容で発表して、サークルのメンバーに考えてもらった。その際に、高校数学の数学Ⅲの内容に該当する定積分の方法を紹介したが、それはできなかったと言うことであった。その後、5月27日になって『おもしろ物理』の代表者であるH氏から、定積分を用いた回答がサークル専用のライン上に公開された。私は精査して、H氏の（解法）が正しいことがわかった。以下、H氏の（解法）を紹介したい。H氏の（解法）が優れている理由は、定積分に表れる被積分関数が最も簡単な関数の式となっていることである。すなわち、定積分の対象とした図形の選び方が最適であることである。...円とおうぎ形に関する問題のつづき～面積に関する中学数学の難問
2024年6月11日（火）最小多項式とジョルダン標準形
2024年5月30日（木）私は、複素解析学が好きである。1988年度に岐阜聖徳学園大学の科目履修生として、複素解析学が講義内容であった『解析学Ⅲ』を学んだことがこの数学の領域に触れた最初だった。それ以来、複素解析学の本をよく読んだ。その後、2017年度に放送大学で『解析入門'14』を再履修した。そうした事情もあって、このブログでも複素解析学の話題を取りあげてきた。ざっと調べてみると、以下をあげることができる。グリーンの定理からコーシーの積分定理へ（2024年1月23日）フレネル積分（2024年2月13日）代数学の基本定理の証明～複素解析学による方法（2024年2月21日）本ブログの内容は、小問（1）がある複素関数の正則性を証明する問題で、小問（2）が留数定理を用いて複素積分を計算する問題である。いずれも気...複素関数の正則性等～東北大学大学院入試問題より
三角関数の置換積分の問題 ～2024年度前期日程の東京医科歯科大学医学部医学科の入試より
2024年5月27日（月）三角関数を含む関数の置換積分に関する問題である。小問（1）（2）の一般的な定理を証明させて、小問（3）の積分∫_[0,π]sinx/(1+√（1+x²)dxの計算に導く問題である。小問（1）（2）の証明は難しくないが、小問（3）の計算には、工夫が必要である。ちょっと休息（1）5月25日のFacebook投稿より昨日は、サークル「おもしろ物理」が14時からある日でした。朝から出かけました。8時45分に岐阜学習センターに到着。9時まで学生控え室で休息を取った後、9時に視聴覚スペースに入室しました。そこで、島内裕子先生の『枕草子の世界'24』の第3講「枕草子の列挙章段』を聴講しました。列挙章段のうち、「凄まじき物」「弛まるる物」「人に侮らるる物」「憎き物』の連続する四章段が扱われていま...三角関数の置換積分の問題～2024年度前期日程の東京医科歯科大学医学部医学科の入試より
テンソル代数3 ～2次元および3次元ベクトルと2階テンソルとの積
2024年5月25日（土）前回までに、テンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分（2024年5月17日）テンソル代数2～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い（2024年5月21日）について、整理してきた。今回は、ベクトルとテンソルとの積について考えてみたい。考える場は、3次元ユーグリッド空間である。詳しい計算の決まりは、本文を読んでいただきたい。本ブログは物理学での利用を想定していて、「道具としての数学」に徹していきたい。ちょっと休息（1）5月23日のFacebook投稿より今日は他に用事がありましたので、岐阜学習センターに朝から出かけました。8時45分頃に学習センターの学生控え室で、視聴覚スペースが開く9時まで休息していました。いつもの学友と、会話を交わしていました。9時過ぎに視聴覚スペ...テンソル代数3～2次元および3次元ベクトルと2階テンソルとの積
2024年5月23日（木）5月18日（土）・19日（日）は、岐阜学習センターで面接授業『精神医学の基礎編』を受講した。昨年度は愛知学習センターでの面接授業を受講していたので、久しぶりの岐阜学習センターでの受講となる。シラバスにあるように、講師は放送大学の「生活と福祉」コース所属の石丸政彦教授である。「生活と福祉」コースの科目を私自身が履修することは少ないが、精神疾患について知っておくのも必要だと判断して受講を決めた。現在は、定員40人満席となっている。講義内容から判断して、卒業と正看護師の取得をめざす准看護師も多く受講していることだろうと予想していた。。5月18日（土）は、面接授業1日目。朝、8時50分頃に岐阜学習センター事務室前で受付をした。学生控え室に入り、コーヒーを飲んだりしてしばらく休憩した。授業...面接授業『精神医学の基礎編』を受講する
テンソル代数2 ～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い
2024年5月21日（火）前回のテンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分（2024年5月17日）に続いて、今回はテンソル代数の代数構造を中心に整理して見た。とくに、多項式代数との比較をしながら、述べてみた。本文にあるように、テンソル代数と多項式代数はともにベクトル空間であるが、多元環でもある。テンソル代数と多項式代数の大きな違いは、乗法について前者が非可換であるのに対して後者は可換であることである。このことが、両者の代数に大きな違いを与えている。そのようなことを、本文では触れてみた。テンソル代数2～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い
2024年5月19日（日）高校の新課程での数学Cの話題である。ちなみに数学Cの内容は、数研出版の『数学C』の教科書のよると、平面上のベクトル空間のベクトル複素数平面式と曲線数学的な表現の工夫から構成されている。本ブログは、「複素数平面」の単元からの話題である。ちなみに「数学的な表現の工夫」の単元には、復活した行列の学習も含まれている。全単元必須でなく、高校によっての選択である。大部分の高校が「平面上のベクトル」「空間のベクトル」と「複素数平面」を選択していることであろろ。本ブログは、n乗根にうちのn=5の場合、すなわち5乗根についてある。n乗根は、z^n=1のことで、その解は極形式でz＝cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)（k=0,1,2,・・・,k－1）で与えられる。ド・モアブルの定理を使う。最...5乗根～数学Cからの話題
2024年5月17日（金）今回から次のように3回にわたって、テンソル代数の整理をしたい。テンソル代数は数学のみならず、物理学でも重要である。物理学では、道具として使うことに重点が置かれている。テンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分（2024年5月17日）テンソル代数2～テンソル代数と多項式代数との代数構造の違い（2024年5月21日）テンソル代数3～2次元および3次元ベクトルと2階テンソルとの積（2024年5月25日）私自身の学習のためにも、テンソル代数について整理してみた。ちょっと休息（1）5月15日のFacebook投稿より中央教育審議会の特別部会による「教職調整額を現行の給料月額4％から10％以上に引き上げる」という提言に、日教組・全教など様々な教職員組合や教育団体からの批判が巻き起こ...テンソル代数1～テンソルの定義とテンソルの基底・成分
関数の接線に関する問題 ～2024年前期日程の新潟大学理学部・医学部・歯学部・工学部入試より
2024年5月15日（水）関数y=f(x)上の点A(a,f(a))から引いた接線が再びy=f(x)と交わるとき、y=f(x)とその接線とで囲まれた面積を求める問題は、よく大学入試問題で出題される。本ブログに取りあげた新潟大学理系の問題は、関数y=f(x)と接線とで囲まれた面積を求める問題でないけれども、接線が関わっている。よく知られたように、微分可能な関数y=f(x)上の点A(a,f(a))から引いた接線の方程式は、y－f(a)＝f’(a)(x－a)で与えられる。このことを使う問題を取りあげて見た。本問のメインである小問（4）を解くために、それ以前の小問が誘導になっているので、小問の順に問題を解いていけばいい。ちょっと休息（1）5月14日のFacebook投稿より昨日、自動車税の納入通知がきました。私の場...関数の接線に関する問題～2024年前期日程の新潟大学理学部・医学部・歯学部・工学部入試より
学校とPTAとのあり方の管理職研修について、岐阜県教委教育研修課と岐阜市教育委員会学校指導課からの回答
2024年5月13日（月）はじめに5月6日に岐阜県教育委員会教育研修課（総合教育センター内）に、学校とPTAとのあり方の管理職研修についてメールにて質問をした。翌日には岐阜市教育委員会に質問した。岐阜市への質問は、400字以内でまとめて資料の添付ができないので、あらためて文面を考えた。一般的のことを岐阜市教育委員会という特定な教育委員会に質問をすることに意外に思われる人もいるかもしれない。この理由は、岐阜市が中核市であって県教委と同等な市内教職員の研修権があるからである。例えば初任者研修の場合、岐阜市内の初任教職員は県の研修に参加しないで、岐阜市教育委員会が独自におこなう研修に参加することになる。このような事情からである。私が2つの教職員の研修期間に」質問をしたのは、質問のメールに理由が書いてある。県内の...学校とPTAとのあり方の管理職研修について、岐阜県教委教育研修課と岐阜市教育委員会学校指導課からの回答
定積分で定義された関数列 ～横浜国立大学大学院の入試問題より
2024年5月11日（土）本ブログで大学院の入試問題をとりあげるのは、入試問題を解くことで大学の学部課程で学ぶ数学をきちんと復習したいからである。したがって、どこの大学院のどの専攻で出題されたかとか、出題年度がいつだとかは気にしていない。ほとんどは、本になって出版されているものである。今回は、姫野俊一・陳啓浩共著『演習大学院入試問題[数学]Ⅰ＜第2版＞』（サイエンス社、2006.0610）に掲載されていた問題を取りあげて見た。高校数学では普通、関数列は扱わないのが原則である。しかし、大学の入試問題ではかなりの大学で出題されている。また、定積分を用いて関数または関数列を定義する問題は、よく出題されている。例えば、私のブログ；定積分で定義された関数の問題～2024年度前期日程の広島大学文系の入試より（2024...定積分で定義された関数列～横浜国立大学大学院の入試問題より
定積分で定義された関数の問題 ～2024年度前期日程の広島大学文系の入試より
2024年5月9日（木）定積分で定義された関数に関する入試問題は、多くの大学で出題されている。今回とりあげた広島大学文系の入試問題も、そのうちのひとつである。文系に入試問題であるから、積分は数学Ⅱの多項式関数の積分となる。難しい問題でないが、本文にも書いたように解法の方針は立てやすい問題であるが、結構計算が大変である。ちょっと休息（1）5月7日のFacebook投稿より・・・岐阜県教委教育研修課に質問昨日、岐阜教育委員会教育研修課（県総合教育センター内）にメールにて質問をしました。学校とPTAとのあり方の研修につて、①校長・教頭等の管理職に対して、学校とPTAとの関わり方の研修は実施されているのですか？実施されているとしたら、毎年何回、何時間程度行われているのですか？➁今後管理職に対して、学校とPTAとの...定積分で定義された関数の問題～2024年度前期日程の広島大学文系の入試より
2024年5月7日（火）ネピア数eが無理数であることの証明を紹介したい。こちらは円周率πが無理数であることの証明よりも遙かにやさしい。今一度、πが無理数であることの証明を振りかえってみてほしい。πが無理数であることの証明（2024年4月27日）eが無理数であることの証明の基本は、eのマクロリーン展開を使うことである。そして、eが有理数と仮定して矛盾を導くことである。ちょっと休息（1）5月5日のFacebook投稿より10年ぐらい前に大野町のバラ祭りに出かけたときに、ワンコインで1年苗を2鉢かってしばらく経て庭に植えたバラ。今は、庭のバラの中心的存在になっています。今年も花を付けました。写真は、パパメイアとモダンタイムズの2品種だったと記憶しています。ネピア数eが無理数であることの証明
2024年5月5日（日）今回の問題は、以前のブログ『身勝手な主張』でとりあげた内容の再掲載です。面積に関する中学数学の難問のひとつである。私も中学生・高校生のときの遙か昔に、ここにあげた問題を解いてみたいと思っていた。しかし、いろいろ考えたけれど解くことができなかった。今度、私も参加している岐阜学習センターのサークル「おもしろ物理」で他の問題とともに問題提起する予定なので、このブログで改めて取りあげてみた。さて、問題についてひと言。本文の（解法）の図において、図形BAEが囲む面積を求めることが重要である。正方形からお互に重ならない図形BAEと自身も含めた4つの合同な図形の面積を引けば、求める図形の面積が求まることがポイントである。早速、解いてみよう。なお、ひと言。問題の図は境界が太線で書いてあるが、無視し...円とおうぎ形に関する問題～面積に関する中学数学の難問
2024年5月3日（金）一様収束については、大学院の入試問題関数の一様収束～京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻入試より（2023年11月11日）でも取りあげた。上のブログは一様収束の応用的なやや難しい問題であった。今回は基礎的な問題を解くことで、一様収束の概念を習得したい。一様収束の概念は、微分積分学の中でも特にわかりにくい概念で、問題の解法にはε－δ方式の証明が必須である。(注意）本ブログはかっての私のブログ『身勝手な主張』からの再掲載である。このことから、各点収束と一様収束の定義の区別がわかりにくい。ブログ関数の一様収束～京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻入試より（2023年11月11日）に記載されている定義の方がわかりやすい。そちらを参考にされたい。ちょっと休息（1）5月2日のFac...関数の一様収束について～定義および基礎的な問題を解く
ネピア数eを定義する数列の収束の証明 ～有界な単調増加数列であること
2024年5月1日（水）ネピア数eは、数列{(1+1/n)^n}の極限値として定義される。数列数列{(1+1/n)^n}が収束することを示すには、①この数列が単調増加であること、②有界であることを示す必要がある。本文は、この2点を示している。それに先だって、数列の基本的定理上に有界な単調増加数列は上限に収束すること下に有界な単調減少数列は下限に収束することを、ε－方式（ε－δ方式）での証明を示した。ε－方式（ε－δ方式）は慣れないと難しく感じるかもしれないが、微分・積分学を含めた解析学を学ぶ上で避けて通れない技法である。なお、このように定義されたネピア数が無理数であることは、別に証明する。ちょっと休息（1）4月30日（火）のFacebook投稿より岐阜学習センターから今学年前期に受講する面接授業の案内文が...ネピア数eを定義する数列の収束の証明～有界な単調増加数列であること
2024年4月29日（月）久しぶりに算数の問題を解いてみよう。三角形の面積の問題である。基本的な事項は、次の通りである。（ⅰ）高さが等しい2つの三角形の面積の比は、底辺の比に等しい。（ⅱ）底辺を共有する2つの三角形の面積の比は、高さの比に等しい。上の（ⅰ）（ⅱ）のいずれかを用いて、2つの三角形の面積の比を求めるのが、このブログで取りあげた問題である。難しくないので童心に返って解いてほしい。三角形に関する算数のある問題
2024年4月27日（土）πが無理数であることの初等的な証明を紹介したい。本文にあるように、小平邦彦編『数学の学び』」(1987.10.8岩波普店)収録の「数学に王道なし」で紹介されていたI.Nevenによるに証明である。じっくり読んで、理解していただきたい。ネピア数eが無理数であることの証明をこのブログのどこかで書いたような気がして探してみたが、なかった。πが無理数であることの証明より遙かに簡単なので、何れこのブログで紹介したい。ところで、「eやπが無理数である」ことの初等的でない証明は、超越数に関するリンデマンの定理の系を利用する方法である。後に示すように、簡単に証明できる。リンデマンの定理の系とは、0でない代数的数αに対してeαは超越数であるとの命題である。超越数とは、どの有理（数）係数の代数方程式...πが無理数であることの証明
2024年4月25日（木）高校数学を学ぶ者が一度は解いておきたいと思う問題が、y＝mxに対して、点A(a,b)と対称な点B(u,v)を求めよという問題である。この問題に対して、オーソドックスな解法は、次の手順に従う方法である。（ⅰ）中点をMとしたとき、M((a+u)/2,(b+v)/2)は、y＝mx上にあるから(b+v)/2＝m・(a+u)/2が成立する。（ⅱ）AM⊥y＝mxの方向ベクトル(1,m)であるから、ベクトルAM・y＝mxの方向ベクトル＝0となる。すなわち、(u－a,v－b)・(1,m)＝0u－a＋m(v－b)=0が成り立つ。※この部分は、直線AMの傾きとy＝mxの傾きmの積はー1になる。このことを使ってもいい。すなわち、（v－b)/(u－a)・m＝－1u－a＋m(v－b)=0が成り立つ。（ⅲ）...y＝mxに対して、点Aと対称な点を求める
2024年4月23日（火）前回のブログ；ラプラス変換1（2024年4月19日）では、主としてラプラス変換の定義やその関連定理の紹介等数学的な内容であった。今回は、直観的に主だった関数のラプラス変換を施して得られる関数を表にして、その表を基にしていろいろな関数をラプラス変換をしてみよう。ラプラス変換は、線型常微分方程式を解くなど物理学等ではよく利用される。与えられた線形常微分方程式は、本文の定理4と初期値を用いてラプラス変換をするとL(y)がsの代数方程式になる。その代数方程式を解いて、L(y)をsの関数で表す。次に、そのsの関数をラプラス逆変換をすると、もとの線形常微分方程式の一般解がわかるわけである。この線形常微分方程式をラプラス変換を用いて解く方法は、何れブログで取りあげてみたいと思う。ちょっと休息（...ラプラス変換2
2024年4月21日（日）高校の数学Ⅲで一番よく使われる定理θ→0のときsinθ/θ→1を適応した極限値の問題を1問とりあげてみた。本文でも述べたように、インターネット上に載せられていた問題である。この定理の証明は、省略する。見方を変えると、θが0に近いところではsinθ≒θと近似できることを、この式は示している。単振り子の周期Tを求めるガリレオの公式T=2π√（L/g)L・・・ひもの長さ，g・・・重力加速度は、このことを使って導くことができる。私のブログ単振り子の周期～近似式としてのガリレオの公式の導出（2023年10月2日）を参照にしていただきたい。さて、問題についてポイントは、極限値を求める関数の分母をe^(x^2)－cosx＝｛e^(x^2)－1｝＋(1+cosx)と変形することに気づくかどうかで...θ→±0⇒sinθ/θ→1を使う極限値を求める問題
2024年4月19日（金）ラプラス変換は、ある積分（本文参照）を介して関数空間を関数空間に変換することを言う。関数f(x)がラプラス変換によって、F(s)に変換されるとする。それをF(s)=L[f(x)]と表すことにする。Lは、線型写像である。すなわち、L[af(x)+bg(x)]=aL[f(x)]+bL[g(x)]＝aF(s)+bG(s)a,b∈R，Cが成立する。また、逆ラプラス変換L^(－1)[aF(s)+bG(s)]＝aL^(－1)[F(s)]＋bL^(－1)[G(s)]＝af(x)+bg(x)a,b∈R，Cも線型写像である。物理学でよく使われるラプラス変換、逆ラプラス変換であるが、主な関数については次回で表で表す。定義からの計算でなく、表を活用して自由にラプラス変換、逆ラプラス変換ができるようにす...ラプラス変換1
空間ベクトルの応用問題 ～2024年度前期日程の広島大学理系入試より
2024年4月17日（水）空間ベクトルの空間図形への応用問題である。平面ベクトルの平面図形の応用と同じように考えていけばいい。空間ベクトルとは、標準ベクトルと言われるベクトルi=(1,0,0)ベクトルj=(0,1,0)ベクトルk=(0,0,1)を基底として任意のベクトルv＝a(ベクトルi)＋b(ベクトルj)＋c(ベクトルk)と表すことができるベクトルのことをいう。2つの空間ベクトルuとvに対しては、平面ベクトルと同じように、内積を考えることができる。また、平面ベクトルにはない外積を定義することができる。本ブログで取りあげた広島大学の理系の入試問題は、空間ベクトルの空間図形への応用問題であるが、比較的（解法）の方針の立てやすい問題である。なお、小問（4）の三角形の面積を求める問題は、①三角形の底辺と高さの長...空間ベクトルの応用問題～2024年度前期日程の広島大学理系入試より
2024年4月15日（月）加群とは、加法群のことで和という演算に対して、結合法則と交換法則や零元・逆元が存在する群のことを言う。この加群に、いわゆる乗法と言われる演算を付加して、Rｰ加群や分配環、そしてリー環などを考えることができる。Rｰ加群は加群にスカラー倍を定義したものである。Rとして体を考えたときがベクトル空間である。Rｰ加群は、ベクトル空間の一般化になっているわけである。本文でも述べてように、ベクトル空間には必ず基底が存在するが、Rｰ加群には基底が存在するとは限らない。両者に、その違いがある。以下、簡単にRｰ加群や分配環、そしてリー環について見ておこう。（訂正）1枚目「R－加群」の項14行目（誤）基底の存在賀ある⇒（正）基底の存在があるちょっと休息（1）4月13日（土）のFacebook投稿より今...加群について
2024年4月13日（土）正五角形の①1辺と対角線の長さとの比、②もとの正五角形とすべての対角線で囲まれた正五角形との面積の比について、考えて見よう。何れも初等幾何学の有名な問題である。まず、三角関数を使って問題を解決する方法を紹介しよう。使う三角関数の命題は、倍角の公式と三角形についての正弦定理ぐらいであろう。しかし、三角関数を用いるこのような方法を初等幾何的な解法と思わない人も多いであろう。私自身は、三角関数を駆使した解法も初等幾何学の解法だと思う。平面図形にベクトルを使って解く方法と同様に、解法に使う道具が初等的であるという意味で初等幾何学的な方法だと思う。ここでは、➁を先に求めてから①を求めている。三角関数を使わない方法を紹介しておこう。2018年度の広島県立大学の入試問題を解くなかで、前述の①お...正五角形～初等幾何学の話題から
2024年4月11日（木）岐阜県の多くの小・中学校および義務教育学校は、4月8日に着任式・始業式そして入学式が行われた。この日、学校や学校を通して配布される文書も多い。その中に、PTA関係の文書もあるだろう。下の文書は、岐阜県北方町立北学園のPTA入会書の文書である。保護者から提供していただいた文書である。私は、この文書を見たとき正直驚いた。昨年度のPTA入会書（登録書）を知っている者にとって、大きく前進しているからである。まず、読んでいただきたい。今年の北学園のPTA入会書が評価できる点は、いくつかある。いい点、若干疑問に思う点を述べておこう。まず、『北学園PTA入会届および個人情報取扱同意書について』の文書について、述べよう。この文書がいい点は、①文書発行者名が「PTA会長」名で、「校長名」がないこと...昨年度より大きく前進した北方町立北学園のPTA入会書
2024年4月9日（火）少し間が空いたが、4次行列式には次のようなブログで書いてきた。行列式の定義1～その準備（置換）（2024年3月28日）行列式の定義2～4次行列式の定義（2024年4月1日）これらのブログは、主として行列式の理論面が中心であった。今回は、行列式の計算をとりあげてみよう。と言っても行列式の計算のパターンは大変多く、本ブログは群盲象をなぜる岳になってしまった。特別な行列式については、今後も別にとりあげていきたいと思います。行列式の計算は、行基本変形や列基本変形をおこないながら、成分にできるだけ多くの0を作ることが重要になる。また、行列式を1行または1列にしたがって小行列式に展開して行列式の次数を小さくすることも重要である。特に4次行列式は定義にしたがって計算することはめんどうであるからの...行列式の定義3～4次行列式の計算
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2024年11月1日（金）中学校種の教員採用選考試験の問題と県教委からの解答を記載する。問題数は50分30問であるから、時間的には結構厳しい。出題内容は、物理基礎・化学基礎・生物基礎・地学基礎といった基礎科目の範囲であろう。私自身が高等学校理科に精通しているわけでない（中学校理科についても、同様である）ので、確信を持って言えるわけでない。中学校理科教員は、大変な面がある．教科については理科が物理学・化学・生物学・地学と自然科学の広範囲の内容を含んでいるからである。さらに、実験があって高等学校のように実験助手が配属されているわけでない。自分で実験の準備をしなければならない。また、ときどき中学校理科実験での生徒の事故が話題になる。多くは有毒な硫化水素（H₂S)関連の事故であるが・・・。教科専門理科理科解答リン...2025年度採用の岐阜県教員採用選考1次試験～中学校の教科専門理科
2024年10月30日（水）今年も岐阜県教員採用試験の問題をこのブログで掲載する。岐阜県教育委員会の場合、1次試験は昨年度だったかよく記憶にないが、後日ホームページに記載される。しかし、掲載時期が遅いこともあって、ここで掲載することにした。解答は県教委発表のものである。解説は、一切付けないことにした。ただし、興味のある問題は例えば3辺の長さが与えられた三角形の外接円と内接円の半径～2025年度採用の岐阜県教員採用選考試験の1次試験より（2024年10月26日）のように、とりあげるようなことをしたい。1次試験このブログでの公開は、中学校種教科専門理科高等学校種教科専門情報教職教養を考えている。なお、県教委のホームページ上で公開されない2次試験については、中学校種論文試験中学校種数学模擬授業中学校種理科模擬授...2025年度採用の岐阜県教員採用選考1次試験～中学校・高等学校種の教科専門数学
2024年10月28日（月）古典的な微分幾何学の定石どおり、トーラスについて整理している。前回のトーラスについて1～その媒介変数表示と第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率（2024年10月24日）について、今回はトーラスの体積・表面積を扱う。トーラスの表面積Sを求めることが中心であるが、その方法は第Ⅰ基本量E,F,Gを用いる。S＝∫∫_D√（EG－F²）なお、体積Vについてはその求め方には触れていなくて、結果だけ述べている。ちょっと休息（1）10月26日（土）のFacebook投稿より学びの記録と「おもしろ物理」サークル昨日25日は、サークールがある日なので岐阜学習センターに出かけました。8時30分過ぎにOKBふれあい会館の駐車場に着きました。9時から視聴覚スペースに入室しました。『教育社会学概論...トーラスについて2～その体積・表面積
2024年10月26日（土）2025年度採用の岐阜県教員採用選考試験の1次試験は、教科専門50分の試験時間で実施された。全問35問の解答で、中学校種・高等学校種の問題は、共通が32問で、残り3問は中学校種が学習指導要領関連の問題、高等学校種は新課程で数学Ⅲの内容からの出題となっている。この問題は、2校種共通の最初の問題で1分30秒以内で解答するという、時間に追われる試験となる。3辺の長さが与えられた三角形の外接円と内接円の半径を求めることになるが、内接円の半径を求めることは比較的容易である。しかし、内接円の半径を求めることには余りとりあげることがなく、難しい問題となる。数学Aの内容であるが、この機会にまとめておくのもよいと思ってとりあげてみた。なお、三角形の面積S、周囲の長さをl、半径をrとするとS＝(1...3辺の長さが与えられた三角形の外接円と内接円の半径～2025年度採用の岐阜県教員採用選考試験の1次試験より
2024年10月24日（木）トーラスS¹×S¹について、総合的に考えて見るのが、本ブログの趣旨である。併せて、古典的な微分幾何学の曲面論の展開の仕方を確認したいという気持ちもある。次の2つに分けて考える。トーラスについて1～そのと第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率（2024年10月24日）本ブログトーラスについて2～その体積と表面積（2024年10月26日）その1では、トーラスのまず媒介変数表示をしてから、第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率につて考える。これらの概念は、トーラスに限らずに曲面論の基礎的な概念である。周知の通り、古典的な微分幾何学は曲線論では大きな成功を収めたが、曲面論では十分な成果が得られなかった。微分可能な多様体論や現代微分幾何学を待たねばならなかった。とりあえず、古...トーラスについて1～その媒介変数表示と第Ⅰ基本量・第2基本量・平均曲率・ガウス曲率
2024年10月22日（火）融合問題と言うべきか、2次方程式に関する問題と数学Ⅲの不定積分を組み合わせた室蘭工業大学理工学部の入試問題である。この問題のポイントは、本文でも簡単に述べたのでここでは省略する。2次方程式に関して、解と係数の関係は使われていない。x²＋2ax＋b＝0の解は、解の公式を用いて素直にx＝－a±√(a²－b)と求める。この解が、x＝－α，－βとなるわけである。このことさえ理解できれば、この問題を解くことはやさしい。ちょっと休息（1）10月21日のFacebook投稿より今日の午前中に、海津市医師会病院でインフルエンザの予防接種をしてきました．1700円でした。毎年、予防接種をしています。2次方程式と不定積分いろいろ～2024年度前期日程の室蘭工業大学理工学部入試より
2024年10月20日（日）剰余類は集合をある条件によって類別したものであるが、それに関係深い合同式について触れておこう。合同式は整数の集合を、ある整数の剰余によって類別した式を表す。例えば整数Nを3で割ったときの余りによる類別は、N≡p(mod3)p=0,1,2と表す。例えば、3で割って2余る整数Nを合同式では簡単にN≡2(mod3)と表す。合同式を使わない場合はN＝3k+2（kは整数）のように表さなければならない。整数に関する定理では、大幅な簡略化ができる。さて、現在高校数学では合同式を扱う高校とそうでない高校がある。数学Aの教科書に掲載されている場合と掲載されていない教科書がある。下に挙げた教科書の引用は数研出版『数学A』（令和4年1月20日）単元「第3章数学と人間の活動」の中の1ページである。数研...剰余類に関する基本定理
2024年10月18日（金）前回の正6角形に関するベクトルの基礎的な問題～2024年度前期日程の岩手大学理工学部の入試（2024年10月10日）に続いて、岩手大学理工学部の入試問題をとりあげる。岩手大学理工学部の問題は、本ブログで取りあげたこの問題以外は、教科書の例題レベルの基礎・基本問題を出題している点に特徴がある。それだけに、この問題の出来・不出来が合否に影響を与えたのでないかと推測される。それでも、小問（1）（2）（3）は基本問題であるから、出来なければならない。やや難しく感じるのは、小問（4）（5）である。ちょっと休息（1）10月16日（水）のFacebook投稿よりこの9月から10月にかけて、中古文学の島内裕子校訂・訳『枕草子上』・『枕草子下』（ちくま学芸文庫）宮崎莊平校訂・訳『紫式部日記』（講...p進法の表記法に関する問題～2024年前期日程の岩手大学理工学部の入試より
2014年10月16日（水）もう10月の半ばというのに、日中は気温が26度から28度の日が続く。朝夕は、寒い位に気温が低下し、寒暖差が大きい。10月12日（土）・13日（日）・14日（月）のうち、前2日間は村祭りの準備および本番であった。10月12日（土）・13日（日）私は組の長を務めているので、12日の8時に地区の八幡神社に出かけた。そこで、神輿関係の準備をした。神輿は、既製のものである。神輿が担げるように準備するのが、大きな仕事である。こちらは、10時頃に終わった。16時から神輿のお祓いが予定されていた。しかし、神主がけがのために出られずに、中止になった。神主が来られないということで、区長（自治会長のこと）等が多度神社までお願いに行ったが、空いてなかった。急なことなので、仕方がない。明日の本祭りの祈祷...10月12日（土）・13日（日）・14日（月）3日間の過ごし方
2024年10月14日（火）前回のブログ；微分可能な多様体の様々な話題1（2024年10月16日）に続いて、今回も微分可能な多様体（本文では、可微分多様体）周辺の話題を取りあげる。今回は、代数学の基本定理の証明と微分同相写像の定義である。代数学の基本定理の証明は、複素解析学による方法が有名である。微分同相写像の定義は、本文を読んでいただければ理解できると思う。MとNをC^r級の微分可能な多様体とする。f：M→Nが微分同相写像であれば、MとNは微分同相である。（追伸）本文1枚目の代数学の基本定理の証明の中の図は、“TopologyfromtheDifferentiableViewpoint”byJ.W.Milnorからの引用である。私はかなり前にノートをとりながら原書で読んだことがある。当時は多様体論を学習...微分可能な多様体の様々な話題2
2024年10月12日（土）多様体論の話題をいくつかあげてみた。これまで、以下のブログで微分可能な多様体について述べてきた。実特殊線形群～可微分多様体の1つの例として（2023年11月17日）微分可能な多様体の接ベクトル空間1（2024年7月24日）微分可能な多様体の接ベクトル空間2（2024年7月28日）微分可能な多様体の定義（2024年8月21日）今回は、定義から微分可能な多様体であることを判断するのでなく、位相多様体Mから位相多様体Nへの写像f：M→Nの性質から判定する方法を紹介する。具体的には、（m－1）次元単位球面が（m－1）次元可微分多様体（微分可能な多様体）であることを示す。ちょっと休息（1）10月11日（金）のFacebook投稿より・・・ユリの球根の植え付け今日の午前中に、ユリ4種類を植...微分可能な多様体の様々な話題1
2024年10月10日（木）正6角形を用いた平面ベクトルの基礎的な問題である。強化の例題レベルの問題で、平面ベクトルの知識の確認に最適な問題だと思う。一度、解いていただきたい。ちょっと休息（1）10月8日（火）のFacebook投稿より学びの記録今日は、1週間ぶりに岐阜学習センターに出かけました。7時35分頃に家を出て、途中コンビニで昼食の弁当を購入してから、8時40分ぐらいにOKBふれあい会館の駐車場に到着できました。岐阜学習センターの学生控え室で学友と歓談した後、9時10分頃に視聴覚スペース室に入室しました。まず、はじめに『枕草紙の世界’24』の通信課題の提出分の問題を解きました。1問1問、問題の記載されている印刷教材のページ数を確認し記録しながら、丁寧に解きました。途中、10時20分頃に15分ほど休...正6角形に関するベクトルの基礎的な問題～2024年度前期日程の岩手大学理工学部の入試
2024年10月8日（水）前回の留数解析1～実数値関数の広義積分（2024年1月6日）のつづきとして、留数解析として実数値関数の広義積分を求めてみよう。今回とりあげた実数値関数の積分のひとつは、∫_[0,∞)1/(1+x^n)dxを計算することである。これは、より一般的な実数値関数の積分∫_[0,∞)x^(q-1)/(1+x^p)dx＝（p/π）/{sin(π/q)/p}から、直ちに導かれる。留数解析の醍醐味を味わってほしい。留数解析2～実数値関数の広義積分
2024年10月6日（日）複素解析学で登場する留数の定義と留数定理について、次のブログ留数定理1～複素解析学の話題より（2024年9月28日）留数定理2～複素解析学の話題より（2024年10月8日）でとりあげてきた。その続きとして、留数解析について2回にわたって触れたい。具体的には、適当な積分路をとり、留数定理を用いて複素積分を計算する。その過程で、実数関数の定積分（広義積分）を求めるのである。実数関数の定積分は、実数の関数の積分では容易に求めることができないが、留数解析によって求めることができる場合がある。今回は、∫_[0,∞](sinx)/xdx=π/2を示す。留数解析1～実数値関数の広義積分
2024年10月4日（金）久しぶりに数学Ⅱの微分を扱う。数学Ⅲで扱う関数はsinxやe^xやlogxなどの超越関数の微分積分であるが、数学Ⅱでは多項式関数の微積分しか扱わない。dy(x^n)/dx=nx^(n-1)∫(x^n)dx=1/(n+1)・x^(n＋1)が、基本公式となる。小問（1）は、与えられた関数の増減表を作り、極小値・極大値を求めれば解ける。小問（2）は、単なるcos3θの展開に過ぎない。加法定理を繰り返すことで、求めることができる。小問（3）は、3次方程式の1つの解から因数定理によって1次式×2次式に因数分解して3つの解を求める問題である。全般的に、基礎的な問題値っていいであろう。なお、3次関数のグラフおよび因数分解のために3次式を1次式で割る計算は、旺文社刊『2025年受験用全国大学入試...多項式関数の微分の問題～2024年度前期日程の佐賀大学農学部の入試
2024年10月2日（水）前回のブログ；留数定理1～複素解析学の話題より（2024年9月28日）で留数定理を述べて、そもそも留数とは何かと言うことで定義を述べた。今回は、まずzが無限大のときの留数の定義を述べた。その後、実際様々な関数で留数を求めてみることにした。具体的には、真性特異点を持つ関数と2位の極を持つ関数をとりあげた。さらに、留数定理を用いて複素積分の値を計算することにも触れた。複素積分とは、線積分のことである。留数定理を応用して実数関数の積分を求める等の留数解析につては別の機会に述べたい。ちょっと休息（1）10月1日（火）のFacebook投稿より学びの記録今日は1週間に1回以上岐阜学習センターで自習する日でした。7時30分過ぎに自宅を出て、OKBふれあい会館2階の岐阜学習センターに8時35分...留数定理2～複素解析学の話題より
2024年9月30日（月）長岡科学技術大学は、高等専門学校からの進学を想定して創設された大学である。豊橋科学技術大学も同様な大学である。今回は、長岡科学技術大学工学部の数が宇野入試問題の1問をとりあげる。この問題は、旺文社刊『2025年受験用全国大学入試問題正解数学追加掲載編』の良問リストにとりあげられるような問題である。私も良問だと思う。ただ、与えられた多項式を因数分解し、統合で結びつけられた自然数を素因数分解し、その等式から問題の（解法）を探ることになる。このところが、受験生には難しかって様な気がする。ちょっと休息（1）9月28日（土）のFacebook投稿今日は7時頃からサツマイモ掘りをしました。畑が粘土質なので、芋掘りは大変です。4列（50本）植えたうちの1列しか掘れませんでした。明日以降も芋掘り...自然数に関する問題～2024年度前期日程の長岡科学技術大学工学部入試より
2024年9月28日（土）留数とは、複素関数f(z)をローラン展開f(z)＝Σ_(－∞,∞）(c_n)(x-a)^n（0＜ z-a ＜ζ）をしたときの(x-a)^(－1)の係数(c_－1)をいう。しかし、留数を求めるには、真性特異点を持つ複素関数f(z)は、定義によって求めるしか方法がない。しかし、ローラン展開の主要部Σ_(1,∞）(c^-n)(x^-n)が有限項な場合、すなわちc_－k≠0かつc_－n≠0（n＞kのとき）のとき、これをk位の極という。f(z)の特異点がk位の極の場合、定義によらずに留数を求めることができる。この留数を用いて、留数定理によってf(z)の複素積分が求まるわけである。今回、留数定理を中心に整理してみた。ちょっと休息（1）9月27日（金）のFacebook投稿より・・・自民党総裁...留数定理1～複素解析学の話題より
2024年9月26日（木）三角関数の合成と三角不等式を解くお茶の水女子大学文教育学部等の入試問題を取りあげて見た。小問（1）の三角関数の合成は、加法定理を使う。一般にasinx＋bcosx＝Asin(x＋θ）と合成したとき、A=√(a²＋b²）であるが、θは本問のように数値で求まるとは限らない。なお、小問（1）は小問（2）の三角不等式を解くのに利用するための誘導となっている。小問（2）の三角不等式は、積の形に直すことで解く基本的な問題である。PQ＜0のとき、p＞0かつQ＜0またはp＜0かつQ＞0と、場合分けして解いていく基本的な問題である。小問（2）については、本にあった別解をあげた。ちょっと休息（1）9月24日（火）のFacebook投稿投稿より学びの記録今日は、岐阜学習センターに出かけた。7時35分頃...三角関数の加法定理による合成・三角不等式～2024年度前期日程のお茶の水女子大学文教育学部等入試より
2024年9月22日（日）9月20日に、独立行政法人大学改革支援・学位授与機構へ学位申請のための書類等を郵便局から書留にて送付した。このブログ「岐阜県の2025年度採用の教員採用試験の素描」の「ちょっと休憩」（2024年9月12日）で述べたように、既にWEB上での申請は完了している。20日に送付したのは、あとで記述するように証明書類等である。送付する学位申請書類等私が申請する積み上げ型の学位申請は、第3区分である。岐阜大学教育学部の卒業を基礎資格とし、その後の大学の科目履修生や正規生として履修した単位を積み上げて学位を申請するものである。私が申請したのは「学士（理学）」である。以前にも述べたように、私は既に称号も含めて学士を4つ取得している。岐阜大学卒業による称号「教育学士」（注1）と放送大学の『自然と環...学位授与機構に書類を提出する～学士(理学）の申請が完了
2023年11月1日（水）対称式は、高校数学で数学1・数学Ⅱの「数と式」「式と証明」の単元などで登場してくる。とりわけ、2次方程式や3次方程式の解と係数の関係においては、基本対称式が重要な役割を果たす。2次方程式ax²+bx+c=0において、解α、βについてα＋β＝－b/aαβ＝c/aであり、3次方程式ax³＋bx²+cx+d=0において、解α、β、γについてα＋β＋γ＝－b/aαβ＋βγ＋γα＝c/aαβγ＝－d/aである。2次方程式や3次方程式の係数が，基本対称式で表すことができるわけである。また、対称式α⁴＋β⁴は、次のように基本対称式で表すことができる。α⁴＋β⁴＝(α²＋β²)²－2(αβ)²＝｛(α＋β)²－2(αβ)}²－2(αβ)²＝(α＋β)⁴－4αβ(α＋β)²＋2(αβ)²一般にすべ...基本対称式
2023年10月30日（月）前回、ヒルベルト空間1～中線定理（2023年10月24日）の本文に先立つ前文にて、簡単ヒルベルト空間の定義を述べた。そこでは、「簡単に言えばヒルベルト空間とは、完備な内積空間のことを言う』と述べた。その通りであるが、ここではヒルベルト空間の定義を、きちんと与えておこう。今回は、強収束・コーシー列・弱集束の定義を述べて準備し、その後、バナッハ空間・ヒルベルを空間を定義する。今回のブログは、定義のみである。前回、ヒルベルト空間1～中線定理（2023年10月24日）の前文で、コーシー列の説明が間違っていた。現在は訂正してある。お詫びしたい。既知であろうと思うが、ここで距離空間・ノルム空間・内積空間の定義を改めて示しておこう。ヒルベルト空間の定義を理解するのに役立つと思う。ヒルベルト空間2～ヒルベルト空間の定義
2023年10月28日（土）中日新聞10月28日朝刊西濃版より引用2019年の4月に、私は大垣市立西小学校が地区運動会（福祉運動会）を実施することを知った。その地区運動会は①学校や自治会等放射線状に結集する地区の社会福祉協議会（地区社協）が実行部隊となって、地区運動会の計画を話しあい、実行する。②学校行事に位置づけられ、当日は、児童・教職員も強制参加である。代休が、与えられる。③大垣市で「福祉運動会」を実施している4校は、①②のとおりで、学校の意思だけで開催を左右できないという大きな問題点があった。そこで、4月から約1年にわたって、西小学校にしぼって問題点を指摘してきた。具体的には、校長への抗議文、公開質問状、情報公開請求をしてきた。しかし、活動の途中で、西小学校では、との3小学校と違い①について・・・地...大垣市立西小学校のファミリーフェスティバルの行事～かっての地区運動会の反省からの素晴らしい行事
2023年10月26日（木）宮城教育大学の理科コースの入試問題をとりあげた。小問（1）（2）の設問があるが、相互に関係はない。本文でも書いたように、小問（1）は有名な問題である。tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(A+B+C＝π）と言ったように、等式がきれいな形をしている。これは、是非証明すべき等式だと思う。小問（2）については、本文で述べたとおりである。いずれも基本的な問題である。解答する時間も1問30分と、十分である。完答を目指してほしい。ちょっと休息10月25日のFacebook投稿より今日は、久しぶりに岐阜学習センターの視聴覚スペースに閉じこもりました。朝、9時前にOKBふれあい会館の入り口に近い駐車場に止めて、岐阜学習センターに向かいました。9時に入場して、まず『生物環境の科...三角関数と対数に関する問題～2023年前期の宮城教育大学学校教育教員養成課程理数コース理科入試
2023年10月24日（火）量子力学が展開される（複素）ヒルベルト空間について、3回にわたって考えていこう。ヒルベルト空間1～中線定理本ブログ（2023年10月24日）ヒルベルト空間2～ヒルベルト空間の定義（2023年10月28日）ヒルベルト空間3～ヒルベルト空間である必要十分条件（2023年11月1日）ヒルベルト空間のきちんとした定義は、後に与える。簡単に言えばヒルベルト空間とは、完備な内積空間のことを言う。内積空間とは、内積が定義された空間のことである。ヒルベルト空間は、ユーグリッド空間の一般化にもなっている。完備なノルム空間をバナッハ空間と呼ぶが、内積から導かれるノルムによってヒルベルト空間はバナッハ空間である。完備性とは、その空間内の任意のコーシー列が必ずその空間内の点に収束する場合を言う。例えば...ヒルベルト空間1～中線定理
2023年10月22日（日）y=f(x)のグラフのx軸、y軸、原点に関して対称なグラフは、次の式が成立するときである。f(x)＝f(－x)x軸対称y=f(x)は、常に2価となるf(x)＝f(－x)y軸対称f(x)＝－f(－x)原点対称この対称性を利用すると、グラフをかくときの手間や値の計算等が簡単になって便利である。ちょっと休息10月20日のfacebook投稿より来年度の学位（「学士（理学）」）の申請に必要な卒業証明書（岐阜大学・放送大学）、成績（単位修得）証明書（玉川大学・岐阜聖徳学園大学）を請求して、今学期中に申請に必要な単位を整理しようと今まで各大学・大学院に請求してきました。今日、岐阜聖徳学園大学教育学部、中退した大学院国際文化研究科から成績（単位修得）証明書が送られてきましたので、放送大学を除...原点対称である関数のグラフ～2023年度前期日程の弘前大学理工学部数物科学科入試より
2023年10月20日（金）射影変換とは、n次元ベクトルVからVへの線形変換P：V→Vがあるとき、P²＝Pを満たす写像のことを言う。この変換による像Pv=vがvの射影である。本文の冒頭に射影作用素について具体的な例で説明されているが、若干補足する。一般的には、ベクトル空間VがV＝U⊕Wと直和分解されているとき、P²＝Pを満たしP：v=u+w→u（u∈U，w∈W）となる作用素Pを射影作用素というのである。本文の冒頭では、直交分解で説明されている。射影作用素
2023年10月18日（水）はじめに2023年1学期までに所属している「情報」コースの必要単位数を満たし、今学期末での卒業見込みとなっている。したがって、今学期は「情報」コースの科目は履修しなかった。学校教育法第105条の科目群履修証明制度に対応した放送大学エクスパートのひとつ「環境科学の基礎」の取得を第一に考えて、履修科目の選定をした。それが、『生活環境と情報認知'20』と『生物環境の科学'16』である。これら2科目の現在までの私の学びについて、自由に述べてみたい。『生活環境と情報認知'20』科目『生活環境と情報認知'20』は『生活と福祉』コースに属するもので、私にとって初めてのこのコースの履修科目である。科目『生活環境と情報認知'20』についての私の正直な感想、「科目選択をまちがえた」というべきだろう...放送大学の今学期の履修科目についての感想～今までの学び
2023年10月16日（月）複素数の1次（分数）変換w＝f(z)＝(az＋b)/(cz＋d)（a,b,c,dは実数）に関する問題である。1次分数変換の性質円は円に写される（直線は半径が無限大の円と考える。）ことを知っていると、小問（3）の（解法）には役立つであろう。少なくとも自分の（解法）の見直しにはなるだろう。いずれも基本的な問題なので、計算ミスのないように小問の誘導に乗って順に解いていけばいい。小問（3）は、z=x+yix,y∈Rに直さないで共役複素数を利用して解くことにした。（別解法）として上のz=x+yiを用いた（解法）も示した。複素数の一次分数変換に関する基礎的な問題～2023年前期日程の佐賀大学理工学部入試問題
2023年10月14日（土）苦情等対応審査申立書の受理・不受理の通知5月25日付けで県教育委員会教育管理課に申請した「苦情等対応審査申立書」に対する受理・不受理の通知が10月12日にようやく郵送されてきた。なぜこんなに遅くなったかわからないが、おそらく昨年度の現北方町立南学園の教員の不祥事のことの記載があったからだと思う。結果を言うと、岐阜教育事務所学校職員課の対応への苦情処理は受理された。受理する以上、教育管理課はある程度下調べをして状況がわかっていると思う。岐阜教育事務所学校職員課も、そうであろう。9月初旬に県教育委員会のホームページに学校職員課の職務内容を載せて、そこでは市町の教育委員会歩の指導・助言や教育長からの報告などの職務が改めて述べられていた。また、9月27日の午前中に学校職員課の定例の北方...県教委教育管理課に提出した5月25日付の「苦情等対応審査申立書」が一部受理される
2023年10月12日（木）ここでとりあげたオイラーの多面体の定理の証明は、放送大学の印刷教材橋本義武著『正多面体と素数』（放送大学教育振興会、2021.0320)にあったものである。第一章「正多面体に表れる素数」から引用させていただいた。オイラーの多面体定理は、位相的な性質である。その証明は、位相的におこなうのが一番適していると思ってこの本を参照にさせていただいた。なお、この授業は2021年4月から開講されていて難しい内容であったが、私も単位を修得した。線形代数関連の授業を除くと、放送大学で唯一抽象代数の内容となっている。ちょっと休息10月10日のFacebook投稿（1）今日は岐阜学習センターへ行くつもりで朝の8時頃に家を出ました。途中に海津市医師会病院によってインフルエンザの予防接種をしてから、OK...オイラーの多面体定理
2023年10月10日（火）はじめに北方町の2つの義務教育学校である北学園・南学園は2期制を採用している。前期と後期との間の休業期間である10月7日から10月11日の間に、「節メディア」「家のお手伝い」「防災」よりテーマを選択して親子で家庭で実践してその結果を担任まで提出するよう案内が出された。もちろん提出は強制であるわけでない。実践しない家庭、提出しない家庭があっても、それは自由であろう。北方町の北学園のPTA――正確には「北方町立北学園・南学園のPTA会長」「北学園子育て委員長」の連名で出された文書をまず最初に掲載する。私はこのPTA活動について異論のある人もいると思うが、ここでは実践の是非について直接触れないことにする（注1）。それよりも、こうした学校の保護者と児童・生徒を対象にした任意団体であるP...北方町立北学園のあるPTA文書を通じて、入退会自由な任意団体PTAに対する学校の関わり方を考える
2023年10月8日（日）本ブログで取りあげる数学の入試問題は、国公立大学の記述式の2次試験、比較的基礎・基本を問う問題が多い。確かに入学試験が実施された3月以降数ヶ月は、旧帝国大学や東京工業大学など名前の知れた国立大学の問題をとりあげることが多い。これは、試験終了後の何ヶ月かはWEB上に入試問題・解法が掲載されるのがこのような大学に限られるからである。しかし、時間が経つと多くの国公立大学の入試問題がWEB上だけでなく出版されたりするので、ブログでとりあげやすくなる。比較的基礎・基本を問う問題が多くなる。できるだけそうした問題を選択しているわけである。もちろん、問題の背後に数学的な深い結果がある問題は、難問であってもとりあげるようにしている。本ブログで取りあげた出題校である公立千歳科学技術大学は、1997...折れ線となる関数のグラフ～前期日程の公立千歳科学技術大学理工学部の入試問題から
2023年10月6日（金）ここしばらく、次のように物理学に関する振り子の周期について述べてきた。単振り子の周期を求める公式～第一種楕円積分の応用（2023年9月28日）単振り子の周期～近似式としてのガリレオの公式の導出（2023年10月2日）せっかくであるから、円錐振り子の周期について触れておこう。円錐振り子とは、天井の1点を固定した点にひもにおもりをつるした振り子を結び、適当な初速度を与えて円運動をさせたものである。おもりが受ける空気抵抗は、考えない。また、ひもは伸び縮みしないものとし、おもり（質点）は同一編面上を運動するものとする。おもりの運動は円運動であるので、円運動の知識も必要になる。なお、本ブログも以前のブログ「身勝手な主張」（閉鎖）に相当以前に掲載したものをそのまま利用させていただいた。本文の...円錐振り子の周期
2023年10月4日（水）国公立大学医学部の数学の入試問題は，大変難しい問題が多い。しかし、今回とりあげた滋賀医科大学の入試問題は、それほど計算力を必要とせずに小問の誘導に従っていけば解ける問題である。定積分の上端がxであるので、定積分で定義された関数は、xの関数となる。{∫_[a,x]f(t)dt}'=f(x)であるが、この問題の場合は小問（ⅱ）の誘導にあるように{logf(x)}'＝f'(x)/f(x)となる。このことからf'(x)＝f(x){logf(x)}'からf'(x)が簡単に求まる。このことを使って、小問（ⅲ）によってたいした計算をすることなくlogf(x)が求まって、f(x)を求めることができるわけである。本問題の（解法）の道筋は、以上のようである。誘導にしたがって、解いてほしい。ちょっと休...積分の上端が変数である定積分を含む関数～2023年前期日程の滋賀医科大学医学部医学部入試より
2023年10月2日（月）本ブログは、いつ頃か不明であるが、閉鎖した「身勝手な主張」のなかで一度とりあげたものの再掲載である。そのために、本文中に振れ幅θを入れた周期を求める公式について、「また、私も導き方を知らないが、実際の式は次のようになる。」との記述がある。現在はその導出方法をブログ単振り子の周期を求める公式～第一種楕円積分の応用（2023年9月28日）に記述してあるので、そちらを参考にしてほしい。単振り子の周期を求めるガリレオの公式T=2π√(l/g)T周期lひもの長さg重力加速度をできるだけ簡単な力学の法則（ニュートンの運動方程式）を用いて導いたものである。ポイントはθ≒0⇒sinθ≒θと言うところである。これは、数学Ⅲで習う極限値sinθ/θ→1（θ→0のとき）からも理解できると思う。このこと...単振り子の周期～近似式としてのガリレオの公式の導出
2023年9月30日（土）全ブログの「身勝手な主張」（閉鎖）で積極的にとりあげてきた岐阜県北方町立北学園のPTA問題について、述べておきたい。今年5月末に大きな動きがあった。PTAへの強制加入を意図した文書を出した前PTA会長が辞任した。同時に北方町の教育委員も辞任した。この時期の辞任について理由は定かでないが、9月17日に投開票された北方町議会議員選挙に立候補した（当選した）ことも、その大きな理由であろう。本来ならばPTA会長は民間人であって普通ならばこのブログに書くことはないが、非常勤の教育委員であったこともあって、普通のPTA会長というわけにいかない。北学園の校長がものを言えなくなっていたこともうなずける。北学園のPTAは、会長の辞任を受けて7月7日付けで保護者宛に新体制の案内文を配布した。保護者か...その後の岐阜県北方町立北学園のPTA問題
2023年9月28日（木）小学校5年生の理科において、振り子の学習で振り子の周期はひもの長さのみによって決まり、おもりの重さや振れ幅に関係しないと習う。これは、ガリレオ・ガリレイの公式T＝2π√(l/g)T・・・周期l・・・ひもの長さg・・・重力加速度9.80665m/s2による。ただし、ガリレオ・ガリレイの公式は、振れ幅をθとしたときθ≒0⇒sinθ≒θを仮定して導かれるものである。ひもの長さlを大きくしたり、振れ幅が大きくなったときは誤差が大きくなる。小学校で単振り子について指導する教員は、このことを意識しておいてほしい。本ブログは、第一種楕円積分を用いて単振り子の周期を求めようとするものである。おもりの受ける空気抵抗は、考慮していない。第一種楕円積分の応用として、とりあげてみたわけである。この結果を...単振り子の周期を求める公式～第一種楕円積分の応用
2023年9月26日（火）国立大学法人筑波技術大学産業技術学部の入試問題のうちの1問である。多くの人は、筑波技術大学について知らないであろう。この大学について、簡単に説明しておこう。筑波技術大学には、産業技術学部と保健科学部がある。この2月の学部については産業技術学部・・・聴覚障害者を対象とした高等教育機関保健科学部・・・視覚障害者を対象とした高等教育機関の主旨で設置されている。したがって、受験者は上に該当するものに限られている。本問は2次関数に関して、数学Ⅰと数学Ⅲの範囲から出題された基本的な問題である。全問正解を目指して、解いていってほしい。特に解説は不要であろう。2次関数に関する基本的な問題～2023年度前期日程の筑波技術大学産業技術学部入試
2023年9月24日（日）楕円x²/a²＋y²/b²＝1の面積は、中学数学でも求めることができる。上の楕円は、円x²＋y²＝a²をy軸方向だけにb/a拡大（縮小）したものだからである。したがって、楕円の面積はπa²×b/a＝πabとなる。しかし、弧の長さは簡単でない。一般にy=f(x)のx=aからx=bまでの弧の長さLは、∫_[a,b]√{1+(f'(x))²}dxで与えられる。媒介変数表示x=x(t),y=y(t)でt=αからt=βまでの弧の長さLは、∫_[a,b]√{(dx/dt)²+(dy/dt)²}dtとなる。これらの公式に当てはめてみると、次の不定積分∫√{1+(f'(x))²}dx∫√{(dx/dt)²+(dy/dt)²}dtが初等関数で表されないのである。ここに、レム二ケートの弧長第一種楕円...第二種楕円積分～楕円の弧長を求める
