Ida a republié ceci
Le quantile à 5% est supérieur au quantile à 95%. Oui oui, vous avez bien lu. En tout cas, ce sont les prévisions de mon modèle de série temporelle… La dernière fois, j'avais expliqué pourquoi maximiser la vraisemblance pouvait mener à des résultats trompeurs quand on veut prédire de manière probabiliste une série temporelle. Mais même les méthodes plus simples comme la régression quantile ont leurs propres limites. La régression linéaire cherche à estimer l’espérance conditionnelle de Y sachant X, c’est-à-dire E[Y|X]. Mais que faire si on veut estimer des quantiles conditionnels de la distribution de Y|X ? Par exemple, prédire la médiane de Y|X est utile lorsque des valeurs extrêmes perturbent la moyenne. Chez Ida, nous prévoyons la demande de produits frais, et pour éviter les ruptures de stock, il est souvent nécessaire d'estimer des quantiles élevés (quantile à 95% par exemple). La régression quantile est alors un outil simple et efficace : en remplaçant la fonction de perte de la régression linéaire par une pinball loss, on peut prédire n’importe quel quantile de Y|X. Mais ce n’est pas sans risque ! Prenons un cas où les résidus de notre modèle sont hétéroscédastiques, c’est-à-dire que la variance de Y|X change avec X. Dans cette situation, un phénomène étrange peut survenir : les prévisions du quantile à 5% peuvent être plus élevées que celles du quantile à 95% ! Comment est-ce possible ? Si la variance des données diminue au fil du temps, le quantile à 95% peut progressivement baisser, tandis que le quantile à 5% augmente. Les quantiles finissent fatalement par se croiser, rendant les prévisions incohérentes. Alors comment résoudre le paradoxe ? Soit on utilise des méthodes qui estiment l’ensemble des quantiles simultanément, avec des contraintes de monotonie sur les quantiles. Soit on prédit directement la distribution de probabilité, puis on calcule les quantiles qui nous intéressent. Dans tous les cas, il est préférable d'éviter d'extrapoler les résultats d'une régression quantile au-delà du domaine des données d'entraînement.